A História dos Sistemas Lineares e um pouco sobre seus conceitos

aSistemas linearesHá quase três século os matemáticos estudam os sistemas lineares. Gilson Würz. Math A teoria de sistemas lineares surgiu em meados do século XVII, paralelamente à teoria dos determinantes. Esse estudo evoluiu, contando com a colaboração de vários matemáticos, como o suíço Gabriel Cramer (1704-1752), que resolveu um sistema de equações num caso particular. Esse trabalho foi aprofundado no século XIX pelo alemão Carl Gustav Jacobi (1804-1851). Outras contribuições vieram de Kronecker, que buscou solução para sistemas de equações lineares homogêneas e também de Fontenele, Rouché e Frobenius, que participaram do aperfeiçoamento desse estudo. As pesquisas de Jacobi levaram-no, em 1829, a publicar um trabalho sobre funções elípticas que foi considerado um dos seus estudos mais importantes. Publicou também De determinantibus functionalibus dedicado principalmente aos determinantes jacobianos. Esses trabalhos foram publicados no Journal de Crelle, um dos periódicos matemáticos lançados no século XIX. O matemático alemão Carl Jacobi era filho de um banqueiro bem-sucedido, o que lhe permitiu uma infância despreocupada, em termos financeiros. Completou seus estudos na Universidade de Berlim, onde se dedicou a Filologia e Matemática, fazendo desta última sua principal opção. Tornou-se professor por vocação, tal era a facilidade com que ensinava. Jacobi viveu em uma época de grandes mudançs políticas e sociais. O nacionalismo crescia nas fronteiras da Alemanha propondo a unificação de seus 39 estados. A crescente industrialização formou uma nova classe de trabalhadores, subnutridos e amontoados nos centros urbanos. Uma série de colheitas ruins piorou ainda mais a vida dos trabalhadores urbanos e camponeses, culminando nos violentos protestos de 1848. Equação linear Para melhor desenvolver o estudo sobre sistemas lineares é necessário rever alguns conceitos sobre equação linear. Consideramos como equação linear toda equação do tipo: (1)a1x1+a2x2+a3x3+⋯+anxn=c$$a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3+\cdots +a_n{x}_n=c$$a1,a2, a3, ⋯, an${\displaystyle a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n}$: coeficientes reais, não todos nulos.x1, x2, x3, ⋯, xn${\displaystyle x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n}$: são as incógnitas.c${\displaystyle c}$: termo independente.Quando o termo independente é nulo, ou seja, quando c=0${\displaystyle c=0}$, a equação linear é homogênea.Exemplosa

2x+y+z	=4		(a)
x+y	=5		(b)
4x+5y+z	=0		(c)

${\displaystyle \begin{array}{cccc}2x+y+z& =4& & (a)\\ x+y& =5& & (b)\\ 4x+5y+z& =0& & (c)\end{array}}$Todas as equações acima são lineares, porém (a) e (b) são não homogêneas, enquanto que (c), que possui o termo independente nulo é chamada de homogênea.Sistema linearChama-se sistema linear a n${\displaystyle n}$ incógnitas de um conjunto de duas ou mais equações lineares com n${\displaystyle n}$ incógnitas.Exemplos a) a

2x+3y	=7
x-y	=1

${\displaystyle \begin{array}{cc}2x+3y& =7\\ x-y& =1\end{array}}$ Sistema linear de duas equações e duas incógnitas, onde x${\displaystyle x}$ e y${\displaystyle y}$ são as incógnitas e 7 e 1 são os termos independentes.b) a

3x+y-4z	=-7
x-2y+3z	=3
2x-y+4z	=12

${\displaystyle \begin{array}{cc}3x+y-4z& =-7\\ x-2y+3z& =3\\ 2x-y+4z& =12\end{array}}$ Sistema linear de três equações e três incógnitas, onde x${\displaystyle x}$, y${\displaystyle y}$ e z${\displaystyle z}$ são as incógnitas e -7, 3 e 12 são os termos independentes.Solução de um sistema linearUma solução de um sistema linear é um conjunto de valor que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.ExemploPara o sistema a

3x+3y	=7
x-y	=1

${\displaystyle \begin{array}{cc}3x+3y& =7\\ x-y& =1\end{array}}$, os valores que satisfazem as duas equações são x=2${\displaystyle x=2}$ e y=1${\displaystyle y=1}$.Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2,1)${\displaystyle (2,1)}$.Sistema linear homogêneoConsideraremos como sistema linear homogêneo aquele que possui todos os coeficientes independentes nulos.Exemploa

x+y+2z	=0
3x+4y-z	=0
2x+3y-3z	=0

${\displaystyle \begin{array}{cc}x+y+2z& =0\\ 3x+4y-z& =0\\ 2x+3y-3z& =0\end{array}}$Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0,0, ⋯, 0)${\displaystyle (0,0,\cdots ,0)}$ chamada solução trivial.Um exemplo linear homogêneo pode ter outras soluções além da trivial.Exercício resolvidoDado o sistema a

5x+y	=0
-x+y	=12

,${\displaystyle \begin{array}{cc}5x+y& =0\\ -x+y& =12\end{array},}$ verificar se é solução cada um dos pares ordenados:a) (3,-15)${\displaystyle (3,-15)}$b) (-2,10)${\displaystyle (-2,10)}$Soluçãoa) a

5x+y	=0
-x+y	=12

${\displaystyle \begin{array}{cc}5x+y& =0\\ -x+y& =12\end{array}}$ a

5(3)+(-15)	=0
-(3)+(-15)	≠12

${\displaystyle \begin{array}{cc}5(3)+(-15)& =0\\ -(3)+(-15)& \ne 12\end{array}}$ a

15-15	=0
3+15	=18≠12

${\displaystyle \begin{array}{cl}15-15& =0\\ 3+15& =18\ne 12\end{array}}$(Não é solução). b) a

5x+y	=0
-x+y	=12

${\displaystyle \begin{array}{cc}5x+y& =0\\ -x+y& =12\end{array}}$ a

5(-2)+(10)	=0
-(-2)+(10)	=12

${\displaystyle \begin{array}{cc}5(-2)+(10)& =0\\ -(-2)+(10)& =12\end{array}}$(É solução).Exercícios1) Considere o sistema a

3x+2y	=-4
-x 2-y 5	=0

${\displaystyle \begin{array}{cl}3x+2y& =-4\\ -{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{y}{5}}& =0\end{array}}$e verifique se é solução cada um dos pares:a) (0,0)${\displaystyle (0,0)}$b) (2,-5)${\displaystyle (2,-5)}$c) (1,0)${\displaystyle (1,0)}$ Soluçãoa) a

3x+2y	=-4
-x 2-y 5	=0

${\displaystyle \begin{array}{cl}3x+2y& =-4\\ -{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{y}{5}}& =0\end{array}}$ a

3(0)+2(0)=0	≠-4
-(0) 2-(0) 5=0	=0

${\displaystyle \begin{array}{cl}3(0)+2(0)=0& \ne -4\\ -{\displaystyle \frac{(0)}{2}}-{\displaystyle \frac{(0)}{5}}=0& =0\end{array}}$(Não é solução)b) a

3x+2y	=-4
-x 2-y 5	=0

${\displaystyle \begin{array}{cl}3x+2y& =-4\\ -{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{y}{5}}& =0\end{array}}$ a

3(2)+2(-5)=6-10	=-4
-(2) 2-(-5) 5=-(2) 2·5 5-(-5) 5·2 2=-10+10 10=	=0

${\displaystyle \begin{array}{rl}3(2)+2(-5)=6-10& =-4\\ -{\displaystyle \frac{(2)}{2}}-{\displaystyle \frac{(-5)}{5}}=-{\displaystyle \frac{(2)}{2}}·{\displaystyle \frac{5}{5}}-{\displaystyle \frac{(-5)}{5}}·{\displaystyle \frac{2}{2}}={\displaystyle \frac{-10+10}{10}}=& =0\end{array}}$ (É solução) c) a

3x+2y	=-4
-x 2-y 5	=0

${\displaystyle \begin{array}{cl}3x+2y& =-4\\ -{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{y}{5}}& =0\end{array}}$ a

3(1)+2(0)=3	≠-4
-(1) 2-(0) 5=-1 2	≠0

${\displaystyle \begin{array}{cl}3(1)+2(0)=3& \ne -4\\ -{\displaystyle \frac{(1)}{2}}-{\displaystyle \frac{(0)}{5}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \ne 0\end{array}}$(Não é solução)2) Verifique qual dos pares ordenados é solução para este sistema a

1 3x-2 5y	=-1 15
100x-37y	=63

.${\displaystyle \begin{array}{cl}{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{2}{5}}y& =-{\displaystyle \frac{1}{15}}\\ 100x-37y& =63\end{array}.}$a) (-1,1)${\displaystyle (-1,1)}$b) (-1.-1)${\displaystyle (-1.-1)}$c) (1,-1)${\displaystyle (1,-1)}$d) (-1

5,0)${\displaystyle (-{\displaystyle \frac{1}{5}},0)}$e) (1,1)${\displaystyle (1,1)}$Soluçãoa) a

1 3x-2 5y	=-1 15
100x-37y	=63

${\displaystyle \begin{array}{cl}{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{2}{5}}y& =-{\displaystyle \frac{1}{15}}\\ 100x-37y& =63\end{array}}$ a

1 3(-1)-2 5(1)=-5 3·5-6 5·5=-11 15	≠-1 15
100(-1)-37(1)=-100-37-137	≠63

${\displaystyle \begin{array}{cl}{\displaystyle \frac{1}{3}}(-1)-{\displaystyle \frac{2}{5}}(1)={\displaystyle \frac{-5}{3·5}}-{\displaystyle \frac{6}{5·5}}=-{\displaystyle \frac{11}{15}}& \ne -{\displaystyle \frac{1}{15}}\\ 100(-1)-37(1)=-100-37-137& \ne 63\end{array}}$ (Não é solução) b) a

1 3x-2 5y	=-1 15
100x-37y	=63

${\displaystyle \begin{array}{cl}{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{2}{5}}y& =-{\displaystyle \frac{1}{15}}\\ 100x-37y& =63\end{array}}$ a

1 3(-1)-2 5(-1)=-5 3·5+6 3·5=-5+6 15=1 15	=-1 15
100(-1)-37(-1)=-100+37=-63	≠63

.${\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{3}}(-1)-{\displaystyle \frac{2}{5}}(-1)={\displaystyle \frac{-5}{3·5}}+{\displaystyle \frac{6}{3·5}}={\displaystyle \frac{-5+6}{15}}={\displaystyle \frac{1}{15}}& =-{\displaystyle \frac{1}{15}}\\ 100(-1)-37(-1)=-100+37=-63& \ne 63\end{array}.}$ (Não é solução) c) a

1 3x-2 5y	=-1 15
100x-37y	=63

${\displaystyle \begin{array}{cl}{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{2}{5}}y& =-{\displaystyle \frac{1}{15}}\\ 100x-37y& =63\end{array}}$ a

1 3(-1 5)-2 5(0)=-1 3·5=-1 15	=-1 15
100(-1 5)-37(0)=-100 5=-20	≠63

${\displaystyle \begin{array}{cl}{\displaystyle \frac{1}{3}}(-{\displaystyle \frac{1}{5}})-{\displaystyle \frac{2}{5}}(0)=-{\displaystyle \frac{1}{3·5}}=-{\displaystyle \frac{1}{15}}& =-{\displaystyle \frac{1}{15}}\\ 100(-{\displaystyle \frac{1}{5}})-37(0)=-{\displaystyle \frac{100}{5}}=-20& \ne 63\end{array}}$ (Não é solução) d) a

1 3x-2 5y	=-1 15
100x-37y	=63

${\displaystyle \begin{array}{cl}{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{2}{5}}y& =-{\displaystyle \frac{1}{15}}\\ 100x-37y& =63\end{array}}$ a

1 3(1)-2 5(1)=1 3·5 5-2 5·3 3=5-6 15	=-1 15
100(1)-37(1)=100-37	=63

${\displaystyle \begin{array}{cl}{\displaystyle \frac{1}{3}}(1)-{\displaystyle \frac{2}{5}}(1)={\displaystyle \frac{1}{3}}·{\displaystyle \frac{5}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}·{\displaystyle \frac{3}{3}}={\displaystyle \frac{5-6}{15}}& =-{\displaystyle \frac{1}{15}}\\ 100(1)-37(1)=100-37& =63\end{array}}$ (É solução) 3) Verifique se cada um dos pares ordenados é solução para este sistema.a

x-y-z	=0
x-2y-2z	=0
2x+y+z	=0

${\displaystyle \begin{array}{cc}x-y-z& =0\\ x-2y-2z& =0\\ 2x+y+z& =0\end{array}}$a) (0,0,0)${\displaystyle (0,0,0)}$b) (0,1,-1)${\displaystyle (0,1,-1)}$c) (1,1,1)${\displaystyle (1,1,1)}$Soluçãoa)a

x-y-z	=0
x-2y-2z	=0
2x+y+z	=0

${\displaystyle \begin{array}{cc}x-y-z& =0\\ x-2y-2z& =0\\ 2x+y+z& =0\end{array}}$ a

(0)-(0)-(0)	=0
(0)-2(0)-2(0)	=0
2(0)+(0)+(0)	=0

${\displaystyle \begin{array}{rc}(0)-(0)-(0)& =0\\ (0)-2(0)-2(0)& =0\\ 2(0)+(0)+(0)& =0\end{array}}$ (É solução) b) a

x-y-z	=0
x-2y-2z	=0
2x+y+z	=0

${\displaystyle \begin{array}{cc}x-y-z& =0\\ x-2y-2z& =0\\ 2x+y+z& =0\end{array}}$ a

(0)-(1)-(-1)=-1+1	=0
(0)-2(1)-2(-1)=-2+2	=0
2(0)+(1)+(-1)=1-1	=0

${\displaystyle \begin{array}{rc}(0)-(1)-(-1)=-1+1& =0\\ (0)-2(1)-2(-1)=-2+2& =0\\ 2(0)+(1)+(-1)=1-1& =0\end{array}}$ (É solução) c) a

x-y-z	=0
x-2y-2z	=0
2x+y+z	=0

${\displaystyle \begin{array}{cc}x-y-z& =0\\ x-2y-2z& =0\\ 2x+y+z& =0\end{array}}$ a

(1)-(1)-(1)=1-2=-1	≠0
(1)-2(1)-2(1)=1-4=-3	≠0
2(1)+(1)+(1)=2+2=4	≠0

${\displaystyle \begin{array}{rc}(1)-(1)-(1)=1-2=-1& \ne 0\\ (1)-2(1)-2(1)=1-4=-3& \ne 0\\ 2(1)+(1)+(1)=2+2=4& \ne 0\end{array}}$ (É solução)Sistema normalUm sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz associada ao sistema é diferente de zero.Ou seja, se m=n${\displaystyle m=n}$ e det≠0${\displaystyle \det \ne 0}$ o sistema é normal. 1) Verifique quais dos seguintes sistemas são normais: a) a

x+y	=5
x-y	=1

${\displaystyle \begin{array}{cc}x+y& =5\\ x-y& =1\end{array}}$ SoluçãoTemos: m=2${\displaystyle m=2}$, n=2→m=n (I)${\displaystyle n=2\to m=n(I)}$.detA=a

1	1
1	-1

=-1-1=-2→detA≠0 (II)${\displaystyle \det A=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-1-1=-2\to \det A\ne 0(II)}$.De I${\displaystyle I}$ e II${\displaystyle II}$, concluímos que o sistema é normal. b) a

x+y	=0
3x+3y-z	=2
3x-z	=4

${\displaystyle \begin{array}{rc}x+y& =0\\ 3x+3y-z& =2\\ 3x-z& =4\end{array}}$SoluçãoTemos: m=3${\displaystyle m=3}$, n=3→m=n (I)${\displaystyle n=3\to m=n(I)}$.detA=a

1	1	0
2	3	-1
3	0	-1

=-4→detA≠0 (II)${\displaystyle \det A=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 2& 3& -1\\ 3& 0& -1\end{array}\right|=-4\to \det A\ne 0(II)}$.De I${\displaystyle I}$ e II${\displaystyle II}$, concluímos que o sistema é normal. c) a

x+y	=3
y+z	=5
t+w	=5

${\displaystyle \begin{array}{cc}x+y& =3\\ y+z& =5\\ t+w& =5\end{array}}$ SoluçãoTemos: m=3${\displaystyle m=3}$, n=5→m≠n (I)${\displaystyle n=5\to m\ne n(I)}$.De I${\displaystyle I}$, concluímos que o sistema não é normal. d) a

x+y+z	=4
2x+3y-5z	=1
3x+4y-4z	=7

${\displaystyle \begin{array}{cc}x+y+z& =4\\ 2x+3y-5z& =1\\ 3x+4y-4z& =7\end{array}}$ SoluçãoTemos: 3, n=3→m=n (I)${\displaystyle n=3\to m=n(I)}$.detA=a

1	1	1
2	3	-5
3	4	-4

=0→detA=0 (II)${\displaystyle \det A=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& -5\\ 3& 4& -4\end{array}\right|=0\to \det A=0(II)}$.De I${\displaystyle I}$ e II${\displaystyle II}$, concluímos que o sistema não é normal. 2) Determinar k ∈ R${\displaystyle k\in \mathbb{R}}$, de modo que o sistema a

kx+y		=3
x+ky		=5

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}kx+y& =3\\ x+ky& =5\end{array}}$ seja normal.SoluçãoPrimeira condição: detA≠0${\displaystyle \det A\ne 0}$. detA=a

k	1
1	k

≠0→k2-1≠0→k≠±1${\displaystyle \det A=\left|\begin{array}{cc}k& 1\\ 1& k\end{array}\right|\ne 0\to k^2-1\ne 0\to k\ne \pm 1}$ Segunda condição: m=n${\displaystyle m=n}$. No sistema, o número de equações (2)${\displaystyle (2)}$ é igual ao número de incógnitas (2)${\displaystyle (2)}$.Logo, o sistema é normal para qualquer k∈R${\displaystyle k\in \mathbb{R}}$ e k≠±1${\displaystyle k\ne \pm 1}$.Regra de CramerTodo sistema normal tem uma única solução dada por: xi=Dxi

D$$x_i=\frac{{D_x}_i}{D}$$onde i∈{1,2,3,⋯,n}, D=detA${\displaystyle i\in \{1,2,3,\cdots ,n\},D=\det A}$ é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e Dxi${\displaystyle {D_x}_i}$ é o determinante obtido através da substituição, na matriz incompleta, da coluna i${\displaystyle i}$ pela coluna formada pelos termos independentes. 1) Resolver, com a ajuda da regra de Cramer, os seguintes sistemas: a) a

2x+y		=7
3x-3y		=3

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}2x+y& =7\\ 3x-3y& =3\end{array}}$ SoluçãoTemos: m=n=2${\displaystyle m=n=2}$. D=a

2	1
2	-3

=-2-6=-8→D≠0.${\displaystyle D=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& -3\end{array}\right|=-2-6=-8\to D\ne 0.}$ Como o sistema é normal, podemos utilizar a regra de Cramer para resolvê-lo.Substituindo, na matriz incompleta a

2	1
2	-3

${\displaystyle \left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& -3\end{array}\right]}$, a coluna C1${\displaystyle C_1}$ pela coluna formada pelos termos independentes, encontramos: Dx=a

7	1
3	-3

=-3-21=-24.${\displaystyle D_x=\left|\begin{array}{cc}7& 1\\ 3& -3\end{array}\right|=-3-21=-24.}$Substituindo, agora C2${\displaystyle C_2}$ pela coluna dos termos independentes, encontramos:Dy=a

2	7
2	3

=6-14=-8.${\displaystyle D_y=\left|\begin{array}{cc}2& 7\\ 2& 3\end{array}\right|=6-14=-8.}$Assim, x=Dx

D=-24

-8=3${\displaystyle x={\displaystyle \frac{D_x}{D}}={\displaystyle \frac{-24}{-8}}=3}$y=Dy

D=-8

-8=1${\displaystyle y={\displaystyle \frac{D_y}{D}}={\displaystyle \frac{-8}{-8}}=1}$Logo, (x,y)=(3,1)${\displaystyle (x,y)=(3,1)}$ é a solução do sistema dado. b) a

x-y+z		=3
2x+y-z		=0
3x-y-2z		=6

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}x-y+z& =3\\ 2x+y-z& =0\\ 3x-y-2z& =6\end{array}}$SoluçãoTemos: m=n=3${\displaystyle m=n=3}$.D=a

1	-1	1
2	1	-1
3	-1	2

=a

3	-3
2	-1

=3≠0${\displaystyle D=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 1& -1\\ 3& -1& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}3& -3\\ 2& -1\end{array}\right|=3\ne 0}$Como o sistema é normal, podemos utilizar a regra de Cramer: Dx=a

3	-1	1
0	1	-1
6	-1	2

=3${\displaystyle D_x=\left|\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 0& 1& -1\\ 6& -1& 2\end{array}\right|=3}$Dy=a

1	3	1
2	0	-1
3	6	2

=-3${\displaystyle D_y=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 2& 0& -1\\ 3& 6& 2\end{array}\right|=-3}$Dz=a

1	-1	3
2	1	0
3	-1	6

=3${\displaystyle D_z=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 3\\ 2& 1& 0\\ 3& -1& 6\end{array}\right|=3}$Assim:x=Dx

D=3

3=1${\displaystyle x=\frac{D_x}{D}=\frac{3}{3}=1}$y=Dy

D=-3

3=-1${\displaystyle y=\frac{D_y}{D}=\frac{-3}{3}=-1}$z=Dz

D=3

3=1${\displaystyle z=\frac{D_z}{D}=\frac{3}{3}=1}$Logo, (x,y,z)=(1,-1,1)${\displaystyle (x,y,z)=(1,-1,1)}$ é a solução do sistema dado. c) a

xcos𝛼+ysin𝛼		=cos𝛼
-xsin𝛼+ycos𝛼		=sin𝛼

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}x\cos 𝛼+y\sin 𝛼& =\cos 𝛼\\ -x\sin 𝛼+y\cos 𝛼& =\sin 𝛼\end{array}}$ SoluçãoTemos: m=n=2.${\displaystyle m=n=2.}$ D=a

cos𝛼	sin𝛼
-sin𝛼	cos𝛼

=cos2𝛼+sin2𝛼=1≠0${\displaystyle D=\left|\begin{array}{cc}\cos 𝛼& \sin 𝛼\\ -\sin 𝛼& \cos 𝛼\end{array}\right|={\cos }^2𝛼+{\sin }^2𝛼=1\ne 0}$ Por Cramer, vem: Dx=a

cos𝛼	sin𝛼
sin𝛼	cos𝛼

=cos2𝛼-sin2𝛼=cos2𝛼${\displaystyle D_x=\left|\begin{array}{cc}\cos 𝛼& \sin 𝛼\\ \sin 𝛼& \cos 𝛼\end{array}\right|={\cos }^2𝛼-{\sin }^2𝛼=\cos 2𝛼}$ Dy=a

cos𝛼	cos𝛼
-sin𝛼	sin𝛼

=sin𝛼cos𝛼+sin𝛼cos𝛼=2sin𝛼cos𝛼=sin2𝛼${\displaystyle D_y=\left|\begin{array}{cc}\cos 𝛼& \cos 𝛼\\ -\sin 𝛼& \sin 𝛼\end{array}\right|=\sin 𝛼\cos 𝛼+\sin 𝛼\cos 𝛼=2\sin 𝛼\cos 𝛼=\sin 2𝛼}$ Assim, x=Dx

D=cos2𝛼

1=cos2𝛼${\displaystyle x=\frac{D_x}{D}=\frac{\cos 2𝛼}{1}=\cos 2𝛼}$ y=Dy

D=sin2𝛼

1=sin2𝛼${\displaystyle y=\frac{D_y}{D}=\frac{\sin 2𝛼}{1}=\sin 2𝛼}$ Logo, (x,y)=(cos2𝛼,sin2𝛼)${\displaystyle (x,y)=(\cos 2𝛼,\sin 2𝛼)}$ é a solução do sistema dado. c) a

2x+2y+2z		=7
2x+1+2y-2z		=9
2x-2y+1+2z+1		=2

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}{2}^x+2^y+2^z& =7\\ 2^{x+1}+2^y-2^z& =9\\ 2^x-2^{y+1}+2^{z+1}& =2\end{array}}$ Solução De maneira como é apresentado, o sistema não é linear.Assim, para torná-lo linear, fazemos as substituições 2x=a, 2y=b${\displaystyle 2^x=a,2^y=b}$ e 2z=c${\displaystyle 2^z=c}$, obtendo: a

a+b+c		=7
2a+b-c		=9
a-2b+2c		=2

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}a+b+c& =7\\ 2a+b-c& =9\\ a-2b+2c& =2\end{array}}$ Resolvendo os determinar por Chió temos: D=a

1	1	1
2	1	-1
1	-2	2

=a

-1	-3
-3	1

=-1-9=-10≠0${\displaystyle D=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& -1\\ 1& -2& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-1& -3\\ -3& 1\end{array}\right|=-1-9=-10\ne 0}$ Da=a

7	1	1
9	1	-1
2	-2	2

=a

16	2
-12	-4

=-64+24=-40≠0${\displaystyle D_a=\left|\begin{array}{ccc}7& 1& 1\\ 9& 1& -1\\ 2& -2& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}16& 2\\ -12& -4\end{array}\right|=-64+24=-40\ne 0}$ Db=a

1	7	1
2	9	-1
1	-2	2

=a

-5	-3
-5	1

=-5-15=-20≠0${\displaystyle D_b=\left|\begin{array}{ccc}1& 7& 1\\ 2& 9& -1\\ 1& -2& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-5& -3\\ -5& 1\end{array}\right|=-5-15=-20\ne 0}$ Por Cramer, vem: a=Da

D=-40

-10=4${\displaystyle a=\frac{D_a}{D}=\frac{-40}{-10}=4}$ b=Db

D=-20

-10=2${\displaystyle b=\frac{D_b}{D}=\frac{-20}{-10}=2}$ Como: 2x=a→2x=4→x=2${\displaystyle 2^x=a\to 2^x=4\to x=2}$ 2y=b→2y=2→y=1${\displaystyle 2^y=b\to 2^y=2\to y=1}$ Sendo a+b+c=7,${\displaystyle a+b+c=7,}$ vem: 4+2+c=7→c=1${\displaystyle 4+2+c=7\to c=1}$ Como 2z=1→z=0${\displaystyle 2^z=1\to z=0}$ Logo, (x,y,z)=(2,1,0)${\displaystyle (x,y,z)=(2,1,0)}$ é a solução do sistema dado. 3) Resolver o sistema linear homogêneo: a

3x+4y+z		=0
2x-y-z		=0
-x+3y-z		=0

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}3x+4y+z& =0\\ 2x-y-z& =0\\ -x+3y-z& =0\end{array}}$SoluçãoTemos: m=n=3${\displaystyle m=n=3}$. D=a

3	4	1
2	-1	-1
-1	3	-1

=a

5	3
2	7

=-6+35=29${\displaystyle D=\left|\begin{array}{ccc}3& 4& 1\\ 2& -1& -1\\ -1& 3& -1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}5& 3\\ 2& 7\end{array}\right|=-6+35=29}$ O sistema é normal, apresentando uma única solução.Mas, como o sistema também é homogêneo tem pelo menos a solução trivial (0,0,0)${\displaystyle (0,0,0)}$ como solução.Logo, (x,y,z)=(0,0,0)${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)}$. Discussão de um sistema linearSe um sistema linear tem n${\displaystyle n}$ equações e n${\displaystyle n}$ incógnitas, então ele pode ser:■ possível e determinado, se D=detA≠0${\displaystyle D=\det A\ne 0}$;Neste caso, a solução é única.■ possível e indeterminado, se D=Dx1=Dx2=Dx3= ⋯ =Dxn=0${\displaystyle D=D_{x_1}=D_{x_2}=D_{x_3}=\cdots =D_{x_n}=0}$, para n=2${\displaystyle n=2}$; para n≥3${\displaystyle n\ge 3}$, esta condição só é válida se não temos equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não proporcionais.Neste caso, o sistema apresenta infinitas soluções.■ impossível, se D=0${\displaystyle D=0}$ e ∃ Dxi≠0, ≤i≤n${\displaystyle \exists D_{x_i}\ne 0,\le i\le n}$.Neste caso, o sistema não tem solução.Observe que:a) S~S${\displaystyle S~S}$, para todo S${\displaystyle S}$.b) se S1~S2${\displaystyle S_1~S_2}$ então S2~S1${\displaystyle S_2~S_1}$.c) se S1~S2${\displaystyle S_1~S_2}$ e S2~S1${\displaystyle S_2~S_1}$ então S1~S2${\displaystyle S_1~S_2}$. Exemplos1) a

x - y +z		=3
2x+ y-z		=0
3x-y+2z		=6

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}x-y+z& =3\\ 2x+y-z& =0\\ 3x-y+2z& =6\end{array}}$ Temos: m=n=3${\displaystyle m=n=3}$ D=a

1	-1	1
2	1	-1
3	-1	2

=3≠0${\displaystyle D=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 1& -1\\ 3& -1& 2\end{array}\right|=3\ne 0}$ Logo, o sistema é possível e determinado, apresentando a solução única. 2) a

x+2y+z		=1
2x+y-3z		=4
3x+3y-2z		=0

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}x+2y+z& =1\\ 2x+y-3z& =4\\ 3x+3y-2z& =0\end{array}}$ Temos: D=a

1	2	1
2	1	-3
3	3	-2

=0${\displaystyle D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& -3\\ 3& 3& -2\end{array}\right|=0}$Sendo D=0${\displaystyle D=0}$ e Dx≠0${\displaystyle D_x\ne 0}$, o sistema é impossível, não apresentando solução. 3) a

x+3y+2z		=1
-2x+y+z		=-2
-x+4y+3z		=-1

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}x+3y+2z& =1\\ -2x+y+z& =-2\\ -x+4y+3z& =-1\end{array}}$ Temos: D=0, Dx=0, Dy=0${\displaystyle D=0,D_x=0,D_y=0}$ e Dz=0${\displaystyle D_z=0}$. Logo, o sistema é possível e indeterminado, apresentando inifnitas soluções. 4) Verificar para quais valores de k${\displaystyle k}$ o sistema a

x+2y		=3
2x+ky		=2

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}x+2y& =3\\ 2x+ky& =2\end{array}}$ é:a) possível e determinado:b) possível e indeterminado;c) impossível.Soluçãoa) O sistema possível e determinado se D≠0${\displaystyle D\ne 0}$. Assim: a

1	2
2	k

≠0→k-4≠0→k≠4${\displaystyle \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& k\end{array}\right|\ne 0\to k-4\ne 0\to k\ne 4}$ b) O sistema é possível e indeterminado se D=Dx=Dy=0${\displaystyle D=D_x=D_y=0}$. Como Dy=a

1	3
2	2

=-4≠0→∃ k∈R${\displaystyle D_y=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 2\end{array}\right|=-4\ne 0\to \exists k\in \mathbb{R}}$, tal que o sistema seja possível e indeterminado. c) O sistema é impossível se D=0${\displaystyle D=0}$ e a

Dx		≠0
ou
Dy		≠0

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}{D}_x& \ne 0\\ ou& \\ D_y& \ne 0\end{array}}$.Mas, D=0${\displaystyle D=0}$ para k=4${\displaystyle k=4}$. 5) Determinar p${\displaystyle p}$, de modo que o sistema a

3x+2y		=3
px+y		=4

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}3x+2y& =3\\ px+y& =4\end{array}}$seja impossível.SoluçãoPara que o sistema seja impossível, devemos ter D=0${\displaystyle D=0}$ e a

Dx		≠0
ou
Dy		≠0

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}{D}_x& \ne 0\\ ou& \\ D_y& \ne 0\end{array}}$.Assim, D=a

3	2
p	1

=3-2p${\displaystyle D=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ p& 1\end{array}\right|=3-2p}$Dx=a

3	2
4	1

=3-8=-5${\displaystyle D_x=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 1\end{array}\right|=3-8=-5}$Dy=a

3	3
p	4

=12-3p=-5${\displaystyle D_y=\left|\begin{array}{cc}3& 3\\ p& 4\end{array}\right|=12-3p=-5}$Como D=0${\displaystyle D=0}$ para 3-2p=0→p=3

2${\displaystyle 3-2p=0\to p={\displaystyle \frac{3}{2}}}$ e Dx=-5≠0${\displaystyle D_x=-5\ne 0}$, o sistema é impossível para p=3

2${\displaystyle p={\displaystyle \frac{3}{2}}}$6) (MACK-SP) O valor de 𝜃, 𝜃∈[0, 𝜋

2],${\displaystyle 𝜃,𝜃\in [0,{\displaystyle \frac{𝜋}{2}}],}$ para o qual o sistema a

(cos𝜃)·x+(sin𝜃)·y		=0
(sin𝜃)·x+(cos𝜃)·y		=0

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}(\cos 𝜃)·x+(\sin 𝜃)·y& =0\\ (\sin 𝜃)·x+(\cos 𝜃)·y& =0\end{array}}$em x${\displaystyle x}$ e y${\displaystyle y}$ é indeterminado, é:a) 𝜋

6${\displaystyle {\displaystyle \frac{𝜋}{6}}}$ b) 𝜋

4${\displaystyle {\displaystyle \frac{𝜋}{4}}}$ c) 𝜋

3${\displaystyle {\displaystyle \frac{𝜋}{3}}}$ d) 𝜋

2${\displaystyle {\displaystyle \frac{𝜋}{2}}}$ e) 0SoluçãoO sistema é possível e indeterminado para D=Dx=Dy=0${\displaystyle D=D_x=D_y=0}$.Como Dx=a

0	sin𝜃
0	cos𝜃

=0${\displaystyle D_x=\left|\begin{array}{cc}0& \sin 𝜃\\ 0& \cos 𝜃\end{array}\right|=0}$ e Dy=a

cos𝜃	0
sin𝜃	0

${\displaystyle D_y=\left|\begin{array}{cc}\cos 𝜃& 0\\ \sin 𝜃& 0\end{array}\right|}$, basta que D=0${\displaystyle D=0}$. Daí: Dy=a

cos𝜃	sin𝜃
sin𝜃	cos𝜃

=cos2𝜃-sin2𝜃${\displaystyle D_y=\left|\begin{array}{cc}\cos 𝜃& \sin 𝜃\\ \sin 𝜃& \cos 𝜃\end{array}\right|={\cos }^2𝜃-{\sin }^2𝜃}$Dy=a

cos𝜃	sin𝜃
sin𝜃	cos𝜃

=cos2𝜃-sin2𝜃→sin𝜃=±cos𝜃${\displaystyle D_y=\left|\begin{array}{cc}\cos 𝜃& \sin 𝜃\\ \sin 𝜃& \cos 𝜃\end{array}\right|={\cos }^2𝜃-{\sin }^2𝜃\to \sin 𝜃=\pm \cos 𝜃}$.Como, 𝜃 ∈[0, 𝜋

2]${\displaystyle 𝜃\in [0,{\displaystyle \frac{𝜋}{2}}]}$, então 𝜃=𝜋

4${\displaystyle 𝜃={\displaystyle \frac{𝜋}{4}}}$.Logo, a alternativa correta é a letra b${\displaystyle b}$. 7) Determinar a${\displaystyle a}$ e b${\displaystyle b}$ para que o sistema a

(a-b)x+(a2-b2)y		=a
(a+b)x+(a2+b2)y		=b

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}(a-b)x+(a^2-b^2)y& =a\\ (a+b)x+(a^2+b^2)y& =b\end{array}}$seja possível e determinado.SoluçãoO sistema é possível e determinado para D≠0${\displaystyle D\ne 0}$. Assim:a

a-b	a2-b2
a+b	a2+b2

=0→(a-b)(a2+b2)-(a+b)(a2-b2)≠0${\displaystyle \left|\begin{array}{cc}a-b& a^2-b^2\\ a+b& a^2+b^2\end{array}\right|=0\to (a-b)(a^2+b^2)-(a+b)(a^2-b^2)\ne 0}$a

a-b	a2-b2
a+b	a2+b2

=0→(a-b)(a2+b2)-(a+b)(a+b)(a-b)≠0${\displaystyle \left|\begin{array}{cc}a-b& a^2-b^2\\ a+b& a^2+b^2\end{array}\right|=0\to (a-b)(a^2+b^2)-(a+b)(a+b)(a-b)\ne 0}$a

a-b	a2-b2
a+b	a2+b2

=0→(a-b)[(a2+b2)-(a+b)2]≠0${\displaystyle \left|\begin{array}{cc}a-b& a^2-b^2\\ a+b& a^2+b^2\end{array}\right|=0\to (a-b)\left[\right(a^2+b^2)-(a+b{)}^2]\ne 0}$a

a-b	a2-b2
a+b	a2+b2

=0→(a-b)[a2+b2-(a2+2ab+b2)]≠0${\displaystyle \left|\begin{array}{cc}a-b& a^2-b^2\\ a+b& a^2+b^2\end{array}\right|=0\to (a-b)[a^2+b^2-(a^2+2ab+b^2\left)\right]\ne 0}$a

a-b	a2-b2
a+b	a2+b2

=0→(a-b)[a2+b2-a2-2ab-b2]≠0${\displaystyle \left|\begin{array}{cc}a-b& a^2-b^2\\ a+b& a^2+b^2\end{array}\right|=0\to (a-b)[a^2+b^2-a^2-2ab-b^2]\ne 0}$a

a-b	a2-b2
a+b	a2+b2

=0→(a-b)(-2ab)≠0→a

a-b		≠0
-2ab		≠0

${\displaystyle \left|\begin{array}{cc}a-b& a^2-b^2\\ a+b& a^2+b^2\end{array}\right|=0\to (a-b)(-2ab)\ne 0\to \{\begin{array}{ll}a-b& \ne 0\\ -2ab& \ne 0\end{array}}$Disso resulta que:a-b≠0→a≠b${\displaystyle a-b\ne 0\to a\ne b}$-2ab≠0→a≠0, b≠0${\displaystyle -2ab\ne 0\to a\ne 0,b\ne 0}$Logo, o sistema é possível e determinado para a≠0${\displaystyle a\ne 0}$, b≠0${\displaystyle b\ne 0}$ e a≠b${\displaystyle a\ne b}$. 8) Discutir o sistema a

x+2ky		=k
kx+2y		=p

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}x+2ky& =k\\ kx+2y& =p\end{array}}$ segundo os valores de p${\displaystyle p}$ e k${\displaystyle k}$.SoluçãoD=a

1	2k
k	2

=2-2k2${\displaystyle D=\left|\begin{array}{cc}1& 2k\\ k& 2\end{array}\right|=2-2k^2}$■ O sistema é possível e determinado se D≠0${\displaystyle D\ne 0}$: D≠0→2-2k2≠0→k≠±1${\displaystyle D\ne 0\to 2-2k^2\ne 0\to k\ne \pm 1}$.■ O sistema é possível e indeterminado se D=Dx=Dy=Dz=0${\displaystyle D=D_x=D_y=D_z=0}$.Temos:D=0${\displaystyle D=0}$ para k=±1${\displaystyle k=\pm 1}$.Dx=a

k	2k
p	2

=2k-2kp=2k(1-p)${\displaystyle D_x=\left|\begin{array}{cc}k& 2k\\ p& 2\end{array}\right|=2k-2kp=2k(1-p)}$.Nesse caso, Dx=0${\displaystyle D_x=0}$ para a

2k=0		→k=0
ou
1-p=0		→p=1

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}2k=0& \to k=0\\ \text{ou}& \\ 1-p=0& \to p=1\end{array}}$Dx=a

1	k
k	p

=p-k2${\displaystyle D_x=\left|\begin{array}{cc}1& k\\ k& p\end{array}\right|=p-k^2}$Temos: Dy=0 para p=k2${\displaystyle D_y=0\text{ para}p=k^2}$.Como k=±1→p=(±1)2→p=1${\displaystyle k=\pm 1\to p=(\pm 1{)}^2\to p=1}$.Logo, o sistema é possível e indeterminado para p=1${\displaystyle p=1}$ e k=±1${\displaystyle k=\pm 1}$.■ O sistema é impossível para D=0${\displaystyle D=0}$ e a

Dx		≠0
ou
Dy		≠0

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}{D}_x& \ne 0\\ \text{ou}& \\ D_y& \ne 0\end{array}}$Assim: D=0${\displaystyle D=0}$ para k=±1${\displaystyle k=\pm 1}$Dx≠0${\displaystyle D_x\ne 0}$ para p≠1${\displaystyle p\ne 1}$Dy≠0${\displaystyle D_y\ne 0}$ para p≠k2→k2≠1→k≠±1${\displaystyle p\ne k^2\to k^2\ne 1\to k\ne \pm 1}$.Como, para k=±1${\displaystyle k=\pm 1}$ e p≠1${\displaystyle p\ne 1}$, temos D=0, Dy=0${\displaystyle D=0,D_y=0}$ e Dz=0${\displaystyle D_z=0}$, o sistema é impossível.Em resumo, temos o diagrama seguinte:

Sistema (S${\displaystyle S}$)PossívelImpossívelDeterminadoIndeterminadoSoluçãoúnicaMais doque umasoluçãoNão hásoluçãoSistemas equivalentesDois sistemas são equivalente quando possuem o mesmo conjunto solução.Exemplo:Dados os sistemasS1=a

x+y		=3
2x+3y		=8

${\displaystyle S_1=\{\begin{array}{ll}x+y& =3\\ 2x+3y& =8\end{array}}$ e S2=a

x+y		=3
x+2y		=5

${\displaystyle S_2=\{\begin{array}{ll}x+y& =3\\ x+2y& =5\end{array}}$o par ordenado (x,y)=(1,2)${\displaystyle (x,y)=(1,2)}$ satisfaz ambos e é único. Logo, S1${\displaystyle S_1}$ e S2${\displaystyle S_2}$ são equivalentes: S1~S2${\displaystyle S_1~S_2}$ Propriedades dos sistemas equivalentes1) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos um outro sistema equivalente.Exemplo:Sendo: S1=a

x+y+2z		=1 (I)
x-z		=3 (II)
y+z		=2 (III)

${\displaystyle S_1=\{\begin{array}{ll}x+y+2z& =1(I)\\ x-z& =3(II)\\ y+z& =2(III)\end{array}}$eS2=a

x-z		=3 (II)
y+z		=2 (III)
x+y+2z		=2 (I)

${\displaystyle S_2=\{\begin{array}{ll}x-z& =3(II)\\ y+z& =2(III)\\ x+y+2z& =2(I)\end{array}}$ temos S1~S2${\displaystyle S_1~S_2}$ 2) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k, k∈R*${\displaystyle k,k\in {\mathbb{R}}^{*}}$, obtemos um sistema equivalente ao anterior.Exemplo:Dado: S1=a

x+2y		=3 (I)
x-y		=0 (II)

${\displaystyle S_1=\{\begin{array}{ll}x+2y& =3(I)\\ x-y& =0(II)\end{array}}$, multiplicando a equação (II)${\displaystyle (II)}$ por 3, obtemos:S2=a

x+2y		=3
(x-y		=0)·3

→S2=a

x+2y		=3
3x-3y		=0

${\displaystyle S_2=\{\begin{array}{ll}x+2y& =3\\ (x-y& =0)·3\end{array}\to S_2=\{\begin{array}{ll}x+2y& =3\\ 3x-3y& =0\end{array}}$Assim, temos S1~S2${\displaystyle S_1~S_2}$. 3) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k, k∈R*${\displaystyle k,k\in {\mathbb{R}}^{*}}$, obtemos um sistema equivalente ao anterior.Exemplo: Dado S1=a

x+2y		=4 (I)
x-y		=1 (II)

${\displaystyle S_1=\{\begin{array}{ll}x+2y& =4(I)\\ x-y& =1(II)\end{array}}$, substituindo nesse sistema a equação (II)${\displaystyle (II)}$ pela soma da equação (I)${\displaystyle (I)}$, multiplicada por -1${\displaystyle -1}$, com a equação (II)${\displaystyle (II)}$, obtemos:S1=a

(x+2y		=4)·(-1)
x-y		=1

→S'1=a

-x-2y		=-4
x-y		=1

→${\displaystyle S_1=\{\begin{array}{ll}(x+2y& =4)·(-1)\\ x-y& =1\end{array}\to S_1^{\text{'}}=\{\begin{array}{ll}-x-2y& =-4\\ x-y& =1\end{array}\to }$-x-2y+x-y=-4+1→-3y=-3${\displaystyle -x-2y+x-y=-4+1\to -3y=-3}$Logo:S2=a

x+2y		=4
-3y		=-3

${\displaystyle S_2=\{\begin{array}{ll}x+2y& =4\\ -3y& =-3\end{array}}$Assim, S1~S2${\displaystyle S_1~S_2}$, pois (x,y)=(2,1)${\displaystyle (x,y)=(2,1)}$ é solução de ambos os sistemas. Sistemas escalonadosDefinição: Seja S${\displaystyle S}$ um sistema de equações lineares.Diz-se que S${\displaystyle S}$ é um sistema escalonado, ou ainda que está na forma escalonada quando:a) em cada equação existe pelo menos um coeficiente não nulo.b) o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulos, cresce da esquerda para a direita, de equação para equação.ExemplosSão escalonados, os sistemas:S1=a

x		+y		+2z		=13
		2y		+z		=4
				3x		=6

${\displaystyle S_1=\{\begin{array}{llll}x& +y& +2z& =13\\ & 2y& +z& =4\\ & & 3x& =6\end{array}}$ S2=a

x		+y		+2z		-t		=13
				z		-t		=5

${\displaystyle S_2=\{\begin{array}{lllll}x& +y& +2z& -t& =13\\ & & z& -t& =5\end{array}}$ S3=a

4x1		+x2		+x3		-x4		=2
		x2		+x3		+x4		=5
						2x4		=7

${\displaystyle S_3=\{\begin{array}{lllll}4x_1& +x_2& +x_3& -x_4& =2\\ & x_2& +x_3& +x_4& =5\\ & & & 2x_4& =7\end{array}}$ResoluçãoSeja S${\displaystyle S}$ um sistema na forma escalonada, para a sua resolução, há dois tipos a serem considerados:S=a

a11x1		+a12x2		+a13x3		+⋯+		a1nxn		=b1
		a22x2		+a23x3		+⋯+		a2nxn		=b2
				+a33x3		+⋯+		a3nxn		=b3
						⋱		⋮		⋮
								annxn		=bn

${\displaystyle S=\{\begin{array}{llllll}{a}_{11}{x}_1& +a_{12}{x}_2& +a_{13}{x}_3& +\cdots +& a_{1n}{x}_n& =b_1\\ & a_{22}{x}_2& +a_{23}{x}_3& +\cdots +& a_{2n}{x}_n& =b_2\\ & & +a_{33}{x}_3& +\cdots +& a_{3n}{x}_n& =b_3\\ & & & \ddots & ⋮& ⋮\\ & & & & a_{nn}{x}_n& =b_n\end{array}}$Observe que em S aii≠0${\displaystyle S{a}_{ii}\ne 0}$ para todo i, 1≤i≤n.${\displaystyle i,1\le i\le n.}$Além disso, se A${\displaystyle A}$ é a matriz incompleta de S${\displaystyle S}$ podemos escrever:adetA=a

a11	a12	a13	⋯	a1n
0	a22	a23	⋯	a2n
0	0	a33	⋯	a3n
⋮	⋮	⋮	⋱	⋮
0	0	0	0	ann

detA=a11a22a33⋯ann≠0${\displaystyle \begin{array}{l}\det A=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ 0& 0& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& a_{nn}\end{array}\right|\\ \det A=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}\cdots a_{nn}\ne 0\end{array}}$Então, S${\displaystyle S}$ é um sistema de Cramer, S${\displaystyle S}$ é possível e determinado.Para obter-se a solução (única) de S${\displaystyle S}$ parte-se da n-ésima equação, que nos dá o valor de xn;${\displaystyle x_n;}$ por substituição nas equações anteriores obtemos sucessivamente os valores de xn-1, xn-2, ⋯, x3, x2, x1${\displaystyle x_{n-1},x_{n-2},\cdots ,x_3,x_2,x_1}$.Exemplo Seja o sistema escalonado:S=a

2x		+y		-z		+t		=0		(I)
		y		+2z		-t		=-1		(II)
				4z		+3t		=7		(III)
						2t		=2		(IV)

${\displaystyle S=\{\begin{array}{llllll}2x& +y& -z& +t& =0& (I)\\ & y& +2z& -t& =-1& (II)\\ & & 4z& +3t& =7& (III)\\ & & & 2t& =2& (IV)\end{array}}$A equação (IV)${\displaystyle (IV)}$ dá-nos t=1${\displaystyle t=1}$, pois a2t=2t=2

2t=1${\displaystyle \begin{array}{l}2t=2\\ t={\displaystyle \frac{2}{2}}\\ t=1\end{array}}$Substituindo t=1${\displaystyle t=1}$ em (III)${\displaystyle (III)}$, segue:4z+3t=7${\displaystyle 4z+3t=7}$4z+3(1)=7${\displaystyle 4z+3(1)=7}$4z=7-3${\displaystyle 4z=7-3}$4z=4${\displaystyle 4z=4}$z=4

4${\displaystyle z={\displaystyle \frac{4}{4}}}$z=1${\displaystyle z=1}$Substituindo z=1${\displaystyle z=1}$ e t=1${\displaystyle t=1}$ em (II)${\displaystyle (II)}$, temos:y+2z-t=-1${\displaystyle y+2z-t=-1}$y+2(1)-(1)=-1${\displaystyle y+2(1)-(1)=-1}$y+2-1=-1${\displaystyle y+2-1=-1}$y+1=-1${\displaystyle y+1=-1}$y=-1-1${\displaystyle y=-1-1}$y=-2${\displaystyle y=-2}$Substituindo z=1, t=1${\displaystyle z=1,t=1}$ e y=-2${\displaystyle y=-2}$ em (I)${\displaystyle (I)}$, temos:2x+y-z+t=0${\displaystyle 2x+y-z+t=0}$2x+(-2)-(1)+(1)=0${\displaystyle 2x+(-2)-(1)+(1)=0}$2x-2+0=0${\displaystyle 2x-2+0=0}$2x=2${\displaystyle 2x=2}$x=2

2${\displaystyle x={\displaystyle \frac{2}{2}}}$x=1${\displaystyle x=1}$A solução do sistema S${\displaystyle S}$ é (x,y,z,t)=(1,-2,1,1)${\displaystyle (x,y,z,t)=(1,-2,1,1)}$ 2° tipo: em S${\displaystyle S}$ há menos equações do que incógnitasS=a

a11x1

+

a12x2

+

a13x3

+⋯+

a1nxn

=b1

a2j2xj2

+

a2j2+1x2j2+1

+⋯+

a2nxn

=b2

⋱ ⋮

⋮ ⋮

⋮

⋮

amjmxjm

+

amjm+1xjm+1

+⋯+

ammxn

=bm

${\displaystyle S=\{\begin{array}{llllllll}{a}_{11}{x}_1& +& a_{12}{x}_2& +& a_{13}{x}_3& +\cdots +& a_{1n}{x}_n& =b_1\\ & & a_{2j_2}{x}_{j_2}& +& a_{2j_2+1}{x}_{2j_2+1}& +\cdots +& a_{2n}{x}_n& =b_2\\ & & & & \ddots ⋮& ⋮⋮& ⋮& ⋮\\ & & a_{m{j}_m}{x}_{j_m}& +& a_{m{j}_m+1}{x}_{j_m+1}& +\cdots +& a_{mm}{x}_n& =b_m\end{array}}$Observe que em S${\displaystyle S}$ 1<j1<⋯<jm${\displaystyle 1<j_1<\cdots <j_m}$ e que os coeficientes iniciais a11, a2j2, amjm${\displaystyle a_{11},a_{2j2},a_{mjm}}$ não são nulos.Para a resolução de S${\displaystyle S}$, neste caso, devemos fazê-lo recair no caso anterior.Inicialmente, as incógnitas que não aparecem no começo de nenhuma das equações de S${\displaystyle S}$ - chamadas variáveis livres - devem ser passadas para os segundos membros das equações.O novo sistema assim obtido, S${\displaystyle S}$ deve ser considerado como um sistema contendo apenas as incógnitas que sobraram nos primeiros membros das equações.Assim, atribuindo-se a cada variável livre dos segundos membros das equações, um determinado valor, teremos um sistema S${\displaystyle S}$ do caso anterior: possível e determinado. Resolvendo-o obtemos uma solução de S${\displaystyle S}$. Em seguida, atribuindo-se às variáveis livres um outro conjunto de valores obteremos outra solução de S${\displaystyle S}$. O processo estende-se indefinidamente, e para S${\displaystyle S}$ encontraremos infinitas soluções: S${\displaystyle S}$ é possível e indeterminado.Por definição, neste segundo caso, o número de variáveis livres, n-m${\displaystyle n-m}$, chama-se grau de indeterminação.Exemplos1) Solucione o sistema escalonado abaixo:S=a

-x+2y+4z		=3
-2y+z		=5
-3z		=-9

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}-x+2y+4z& =3\\ -2y+z& =5\\ -3z& =-9\end{array}}$SoluçãoInicialmente, resolvemos a 3ª equação e obtemos o valor de z${\displaystyle z}$.-3z=-9→z=3${\displaystyle -3z=-9\to z=3}$Substituímos z=3${\displaystyle z=3}$ ma 2ª equação e obtemos o valor de y${\displaystyle y}$.-2y+z=5→-2y+3=5→y=-1${\displaystyle -2y+z=5\to -2y+3=5\to y=-1}$Substituímos z=3${\displaystyle z=3}$ e y=-1${\displaystyle y=-1}$ na equação e obtemos o valor de x${\displaystyle x}$.-x+2y+4z=3→-x+2(-1)+4(3)=3→x=7${\displaystyle -x+2y+4z=3\to -x+2(-1)+4(3)=3\to x=7}$Portanto, o sistema tem como solução única a terna (7;-1;3)${\displaystyle (7;-1;3)}$. 2) Resolva o sistema escalonado abaixo:S=a

3x-2y+z		=-6
4y-2z		=0
5z		=10

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}3x-2y+z& =-6\\ 4y-2z& =0\\ 5z& =10\end{array}}$SoluçãoTemos um sistema 3×3${\displaystyle 3\times 3}$ já escalonado com a quantidade de incógnitas igual a quantidade de equações.Da 3ª equação temos: 5z=10→z=2${\displaystyle 5z=10\to z=2}$Substituindo z=2${\displaystyle z=2}$ na 2ª equação, temos:4y-2z=0→4y-2(2)=0→4y=4→y=1${\displaystyle 4y-2z=0\to 4y-2(2)=0\to 4y=4\to y=1}$Substituindo z=2${\displaystyle z=2}$ e y=1${\displaystyle y=1}$ na 1ª equação, temos:3x-2y+z=-6→3x-2(1)+(2)=-6${\displaystyle 3x-2y+z=-6\to 3x-2(1)+(2)=-6}$3x-2+2=-6→3x=-6→x=-2${\displaystyle 3x-2+2=-6\to 3x=-6\to x=-2}$.Podemos concluir que o sistema é possível e determinado, com S=(-2;1;2)${\displaystyle S=(-2;1;2)}$.3) Resolva o sistema escalonado abaixo:S=a

9x-2y+3z-w		=1
y-2z+4w		=6
5z+2w		=3
0w		=9

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}9x-2y+3z-w& =1\\ y-2z+4w& =6\\ 5z+2w& =3\\ 0w& =9\end{array}}$SoluçãoTemos um sistema com 4 incógnitas e 4 equações já escalonado.A 4ª equação permite dizer que o sistema é impossível, logo, S=∅${\displaystyle S=\varnothing }$.4) Resolva o sistema escalonado abaixo:S=a

x+y+z		=0
3y-6z		=0

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}x+y+z& =0\\ 3y-6z& =0\end{array}}$SoluçãoTemos um sistema com 2×3${\displaystyle 2\times 3}$, ou seja, com 2 equações e 3 incógnitas. Quando um sistema escalonado tem mais incógnitas do que equações e pelo menos um coeficiente não nulo em cada equação, ele é possível e indeterminado, pois as equações que faltam podem ser consideradas 0=0${\displaystyle 0=0}$.A incógnita que não aparece no começo das equações é chamada de incógnita livre. Nesse exemplo, z${\displaystyle z}$ é a incógnita livre. Fazendo z=k${\displaystyle z=k}$, com k∈R${\displaystyle k\in \mathbb{R}}$, para descobrir a solução geral do sistema.Da 2ª equação, temos:3y-6k=0→y=2k${\displaystyle 3y-6k=0\to y=2k}$Usando z=k${\displaystyle z=k}$ e y=2k${\displaystyle y=2k}$, temos:x+2k+k=0→x=-3k${\displaystyle x+2k+k=0\to x=-3k}$Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solução geral é (-3k, 2k, k)${\displaystyle (-3k,2k,k)}$5) Resolva o sistema escalonado seguinte:S=a

2x-y+z-t		=2
2z+3t		=1

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}2x-y+z-t& =2\\ 2z+3t& =1\end{array}}$SoluçãoAqui o sistema é possível e indeterminado (está escalonado e tem duas equações e quatro incógnitas) e são duas as incógnitas livres (y${\displaystyle y}$ e t${\displaystyle t}$).Fazemos y=𝛼${\displaystyle y=𝛼}$ e t=𝛽${\displaystyle t=𝛽}$, com 𝛼, b ∈R${\displaystyle 𝛼,b\in \mathbb{R}}$.Substituindo nas equações:2z+3t=1→2z+3𝛽=1→z=1-3𝛽

2${\displaystyle 2z+3t=1\to 2z+3𝛽=1\to z={\displaystyle \frac{1-3𝛽}{2}}}$2x-𝛼+1-3𝛽

2-𝛽=2→4x=2𝛼-1+3𝛽+2𝛽+4${\displaystyle 2x-𝛼+{\displaystyle \frac{1-3𝛽}{2}}-𝛽=2\to 4x=2𝛼-1+3𝛽+2𝛽+4}$→4x=2𝛼+5𝛽+3→x=2𝛼+5𝛽+3

4${\displaystyle \to 4x=2𝛼+5𝛽+3\to x={\displaystyle \frac{2𝛼+5𝛽+3}{4}}}$Portanto, a solução geral é dada por (2𝛼+5𝛽+3

4; 𝛼;1-3𝛽

2;𝛽)${\displaystyle ({\displaystyle \frac{2𝛼+5𝛽+3}{4}};𝛼;{\displaystyle \frac{1-3𝛽}{2}};𝛽)}$6) Resolva e classifiqe o sistema S=a

x+2y-z+w		=3
y+z-w		=-1

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}x+2y-z+w& =3\\ y+z-w& =-1\end{array}}$SoluçãoO sistema está na forma escalonada e possui duas equações e quatro incógnitas. Logo, as incógnitas z${\displaystyle z}$ e w${\displaystyle w}$ são livres e o grau de indeterminação é dois.Fazendo z=𝛼${\displaystyle z=𝛼}$ e w=𝛽${\displaystyle w=𝛽}$, com 𝛼∈R${\displaystyle 𝛼\in \mathbb{R}}$, temos:S=a

x+2y-z+w		=3
y+z-w		=-1

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}x+2y-z+w& =3\\ y+z-w& =-1\end{array}}$a

x+2y-𝛼+𝛽		=3
y+𝛼-𝛽		=-1

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}x+2y-𝛼+𝛽& =3\\ y+𝛼-𝛽& =-1\end{array}}$a

x+2y		=3+𝛼-𝛽 (I)
y		=-1-𝛼+𝛽 (II)

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}x+2y& =3+𝛼-𝛽(I)\\ y& =-1-𝛼+𝛽(II)\end{array}}$Substituindo (II) em (I), segue que:x+2(-1-𝛼+𝛽)=3+𝛼-𝛽${\displaystyle x+2(-1-𝛼+𝛽)=3+𝛼-𝛽}$x-2-2𝛼+2𝛽=3+𝛼${\displaystyle x-2-2𝛼+2𝛽=3+𝛼}$x=5+3𝛼-3𝛽${\displaystyle x=5+3𝛼-3𝛽}$Logo, a solução geral do sistema é (5+3𝛼-3𝛽, -1-𝛼+𝛽, 𝛼, 𝛽)${\displaystyle (5+3𝛼-3𝛽,-1-𝛼+𝛽,𝛼,𝛽)}$, com 𝛼∈R${\displaystyle 𝛼\in \mathbb{R}}$ e 𝛽∈R${\displaystyle 𝛽\in \mathbb{R}}$.Portanto, temos um sistema linear possível e indeterminado. 7) Seja o sistema escalonado:S=a

x+y+2z		=2 (I)
y+z		=3 (II)

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}x+y+2z& =2(I)\\ y+z& =3(II)\end{array}}$SoluçãoA única incógnita que não aparece no começo de nenhuma das equações de S${\displaystyle S}$ é z${\displaystyle z}$: é a única variável livre (observe que o grau de indeterminação do sistema é 1).Passando z${\displaystyle z}$ para os segundos membros das equações:S=a

x+y		=2-2z (I)
y		=3-z (II)

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}x+y& =2-2z(I)\\ y& =3-z(II)\end{array}}$Atribuindo-se a z${\displaystyle z}$ o valor de 𝛼, 𝛼∈R${\displaystyle 𝛼,𝛼\in \mathbb{R}}$, obtém-se o sistema:S=a

x+y		=2-2z (I)
y		=3-z (II)

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}x+y& =2-2z(I)\\ y& =3-z(II)\end{array}}$consistente e determinado para cada valor particular de 𝛼${\displaystyle 𝛼}$.Substituindo (II)${\displaystyle (II)}$ em (I)${\displaystyle (I)}$:S=a

x+3-𝛼		=2-2𝛼
x		=-1-𝛼

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}x+3-𝛼& =2-2𝛼\\ x& =-1-𝛼\end{array}}$Então, as soluções de S${\displaystyle S}$ são infinitos conjuntos de valor do tipo (-1-𝛼; 3-𝛼; 𝛼)${\displaystyle (-1-𝛼;3-𝛼;𝛼)}$, onde 𝛼∈R${\displaystyle 𝛼\in \mathbb{R}}$; S${\displaystyle S}$ é possível e indeterminado.Alguns exemplos de solução:a

𝛼=	0: (-1;3;0)
𝛼=	1: (-2;2;1)
𝛼=	2: (-3;1;2)

${\displaystyle \begin{array}{cc}𝛼=& 0:(-1;3;0)\\ 𝛼=& 1:(-2;2;1)\\ 𝛼=& 2:(-3;1;2)\end{array}}$8) Seja o sistema escalonado:S=a

x+2y-2z+3t		=2 (I)
z-2t		=1 (II)

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}x+2y-2z+3t& =2(I)\\ z-2t& =1(II)\end{array}}$SoluçãoHá duas variáveis livres: y${\displaystyle y}$ e t${\displaystyle t}$ (não aparecem no começo de nenhuma equação). O grau de indeterminação de S${\displaystyle S}$ é 2.Passando y${\displaystyle y}$ e t${\displaystyle t}$ para os membros das equações:S=a

x-2z		=2-2y-3t
z		=1+2t

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}x-2z& =2-2y-3t\\ z& =1+2t\end{array}}$Atribuindo-se a y${\displaystyle y}$ e t${\displaystyle t}$, respectivamente, os valores 𝛼${\displaystyle 𝛼}$ e 𝛽${\displaystyle 𝛽}$, reais, obtem-se o sistema:S=a

x-2z		=2-2𝛼-3𝛽
z		=1+2𝛽

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}x-2z& =2-2𝛼-3𝛽\\ z& =1+2𝛽\end{array}}$possível e determinado para cada par (𝛼;𝛽${\displaystyle 𝛼;𝛽}$).Substituindo (2) em (1)ax-2(1+2𝛽)=2-2𝛼-3𝛽x=4-2𝛼+𝛽${\displaystyle \begin{array}{l}x-2(1+2𝛽)=2-2𝛼-3𝛽\\ x=4-2𝛼+𝛽\end{array}}$Então, as soluções de S${\displaystyle S}$ são os inifitos conjuntos de valores do tipo (4-2𝛼+𝛽; 𝛼; 1+2𝛽; 𝛽)${\displaystyle (4-2𝛼+𝛽;𝛼;1+2𝛽;𝛽)}$, onde (𝛼, 𝛽) ∈R2 ${\displaystyle (𝛼,𝛽)\in {\mathbb{R}}^2}$; S${\displaystyle S}$ é consiste e indeterminado.Alguns exemplos de solução:a(𝛼;𝛽)=(-2;1):(9;-2;3;1)(𝛼;𝛽)=(0;0):(4;0;1;0)${\displaystyle \begin{array}{l}(𝛼;𝛽)=(-2;1):(9;-2;3;1)\\ (𝛼;𝛽)=(0;0):(4;0;1;0)\end{array}}$Exercícios) Resolva os sistemas lineares escalonados.a) S=a

2x-y+3z		=0
2y-z		=1
2z		=-6

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}2x-y+3z& =0\\ 2y-z& =1\\ 2z& =-6\end{array}}$SoluçãoDevemos resolver a terceira equação primeiramente, assim:2z=-6→z=-3${\displaystyle 2z=-6\to z=-3}$Substituindo z=-3${\displaystyle z=-3}$ na segunda equação, temos:2y-z=1→2y-(-3)=1${\displaystyle 2y-z=1\to 2y-(-3)=1}$2y+3=1→2y=1-3${\displaystyle 2y+3=1\to 2y=1-3}$2y=-2${\displaystyle 2y=-2}$y=-1${\displaystyle y=-1}$Substituindo y=-1${\displaystyle y=-1}$ e z=-3${\displaystyle z=-3}$ na primeira equação, temos2x-y+3z=0→2x-(-1)+3(-3)=0${\displaystyle 2x-y+3z=0\to 2x-(-1)+3(-3)=0}$2x+1-9=0→2x-8=0${\displaystyle 2x+1-9=0\to 2x-8=0}$2x=8→x=4${\displaystyle 2x=8\to x=4}$Portanto, a solução é dada por (4;-1;-3)${\displaystyle (4;-1;-3)}$. b) S=a

5x-2y+z		=3
4y-z		=5
0z		=8

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}5x-2y+z& =3\\ 4y-z& =5\\ 0z& =8\end{array}}$SoluçãoSe pudéssemos resolver a 3 terceira equação linear, a segunda e primeira equações teríam solução, porém z=8/0${\displaystyle z=8/0}$ gera indeterminação e portanto é um sistema que não tem solução. c) S=a

3x1-2x2+x3		=2
x2-x3		=0

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}3x_1-2x_2+x_3& =2\\ x_2-x_3& =0\end{array}}$SoluçãoPerceba que temos duas equações e três incógnitas. Assim, devemos atribuir a variável livre o símbolo x3=𝛼${\displaystyle x_3=𝛼}$ e substituí-la na segunda equação.x2-𝛼=0→x2=𝛼${\displaystyle x_2-𝛼=0\to x_2=𝛼}$Substituindo x3=x2=𝛼${\displaystyle x_3=x_2=𝛼}$ na primeira equação, temos:3x1-2x2+3x3=2→3x1-2𝛼+3𝛼=2→3x1+𝛼=2${\displaystyle 3x_1-2x_2+3x_3=2\to 3x_1-2𝛼+3𝛼=2\to 3x_1+𝛼=2}$3x1=2-𝛼→x1=2-𝛼

3${\displaystyle 3x_1=2-𝛼\to x_1={\displaystyle \frac{2-𝛼}{3}}}$Portanto, a solução geral será (2-𝛼

3;𝛼;𝛼)${\displaystyle ({\displaystyle \frac{2-𝛼}{3}};𝛼;𝛼)}$.d) S=a

x-y+z-w		=0
y+z+w		=5
-z-2w		=1
-w		=2

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}x-y+z-w& =0\\ y+z+w& =5\\ -z-2w& =1\\ -w& =2\end{array}}$SoluçãoResolvendo a última equação linear, temos: -w=2→w=-2${\displaystyle -w=2\to w=-2}$.Substituindo w=-2${\displaystyle w=-2}$ na terceira equação, temos:-z-2w=1→-z-2(-2)=1→z+2=1${\displaystyle -z-2w=1\to -z-2(-2)=1\to z+2=1}$z=1-2→z=-1${\displaystyle z=1-2\to z=-1}$Substituindo w=-2${\displaystyle w=-2}$ e z=-1${\displaystyle z=-1}$ na segunda equação, temos:y+z+w=5→y+(-1)+(-2)=5${\displaystyle y+z+w=5\to y+(-1)+(-2)=5}$y-3=5→y=5+3→y=8${\displaystyle y-3=5\to y=5+3\to y=8}$Substituindo w=-2, z=-1${\displaystyle w=-2,z=-1}$ e y=8${\displaystyle y=8}$ na primeira equação, temos:x-y+z-w=0→x-(8)+(-1)=0${\displaystyle x-y+z-w=0\to x-(8)+(-1)=0}$x-9=0→x=9${\displaystyle x-9=0\to x=9}$Portanto, a solução será dada por (9;8;-1;2)${\displaystyle (9;8;-1;2)}$ e) S=a

a+2b-c+d		=2
c-d		=0

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}a+2b-c+d& =2\\ c-d& =0\end{array}}$SoluçãoNo caso acima temos duas equações lineares e quatro incógnitas.c-d=0→c=d=𝛼${\displaystyle c-d=0\to c=d=𝛼}$a+2b-𝛼+𝛼=2→a+2b=2${\displaystyle a+2b-𝛼+𝛼=2\to a+2b=2}$Chamando b=𝛽${\displaystyle b=𝛽}$, temos:a+2𝛽=2→a=2-2𝛽${\displaystyle a+2𝛽=2\to a=2-2𝛽}$Portanto, a solução é dada por (2-2𝛽; 𝛽; 𝛼; 𝛼)${\displaystyle (2-2𝛽;𝛽;𝛼;𝛼)}$ f) S=a

3x-5y		=6
2y		=1

${\displaystyle S=\{\begin{array}{ll}3x-5y& =6\\ 2y& =1\end{array}}$SoluçãoResolvendo a segunda equação para y${\displaystyle y}$, temos:2y=1→y=1

2${\displaystyle 2y=1\to y={\displaystyle \frac{1}{2}}}$Substituindo y=1

2${\displaystyle y={\displaystyle \frac{1}{2}}}$ na primeira equação, temos:3x-5y=6→3x-5·1

2=6→2·(3x-5·1

2=6)${\displaystyle 3x-5y=6\to 3x-5·{\displaystyle \frac{1}{2}}=6\to 2·(3x-5·{\displaystyle \frac{1}{2}}=6)}$6x-5=12→6x=12+5→6x=17→x=17

6${\displaystyle 6x-5=12\to 6x=12+5\to 6x=17\to x={\displaystyle \frac{17}{6}}}$Portanto, a solução é dada por (17

6; 1

2)${\displaystyle ({\displaystyle \frac{17}{6}};{\displaystyle \frac{1}{2}})}$Processo para escalonamento de um sistema linearQuando o sistema não está escalonado, podemos obter um sistema equivalente a ele, que esteja escalonado, por meio de algumas operações elementares. Para transformar um sistema não escalonado em um sistema equivalente escalonado, alguns procedimentos podem ser feitos:● Podemos trocar a posição das equações. Exemploa

3x-2y		=6
x+4y		=1

→a

x+4y		=1
3x-2y		=6

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}3x-2y& =6\\ x+4y& =1\end{array}\to \{\begin{array}{ll}x+4y& =1\\ 3x-2y& =6\end{array}}$● Podemos multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número real diferente de zero.3x-y+z=5→6x-2y+2z=10${\displaystyle 3x-y+z=5\to 6x-2y+2z=10}$● Podemos multiplicar os dois membros de um equação com todos os coeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, essa equação será suficiente para afirmar que o sistema é impossível, isto é, tem S=∅${\displaystyle S=\varnothing }$.Exemplo:0x+0y+0z=7→S=∅${\displaystyle 0x+0y+0z=7\to S=\varnothing }$.Vejamos agora alguns exemplos nos quais os sistemas são escalonados e depois classificados e resolvidos.

a) a

x+2y+z		=7
2x+7y+z		=21
-3x-5y+2z		=-8

(-2) ·3 + +Para anular os coeficientes de x${\displaystyle x}$ na 2ª e na 3ª equações, podemos:● multiplicar a 1ª por (-2)${\displaystyle (-2)}$ e somar com a 2ª${\displaystyle 2ª}$;● multiplicar a 1ª por 3 e somar com a 3ª.Depois, podemos trocar as posições das duas últimas equações para que o coeficiente de y${\displaystyle y}$ seja 1 na 2ª equação.

a) a

x+2y+z		=7
2x+7y+z		=21
-3x-5y+2z		=-8

→a

x+2y+z		=7
y+5z		=13
3y-z		=7

·(-3)→ +a

x+2y+z		=7
y+5z		=13
-16z		=-32

O sistema obtido está escalonado e é equivalente ao sistema dado.Podemos agora resolver partindo da última equação para cima:-16z=-32→z=2${\displaystyle -16z=-32\to z=2}$Substituindo z=2${\displaystyle z=2}$ na segunda equação, temos:y+5z=13→y+5(2)=13${\displaystyle y+5z=13\to y+5(2)=13}$y+10=13→y=3${\displaystyle y+10=13\to y=3}$Substituindo z=2${\displaystyle z=2}$ e y=3${\displaystyle y=3}$ na primeira equação, temos:x+2y+z=7→x+2(3)+(2)=7${\displaystyle x+2y+z=7\to x+2(3)+(2)=7}$x+8=7→x=-1${\displaystyle x+8=7\to x=-1}$Portanto, temos a solução (-1; 3; 2).${\displaystyle (-1;3;2).}$

b) a

x+2y-z		=3
3x-y+z		=1
2x+4y-2z		=6

→a

x+2y-z		=3
-7y+4z		=-8
0x+0y-0z		=0

(-3) ·(-2) + + →a

x+2y-z		=3
-7y+4z		=-8
0z		=0

Sistema possível e indeterminado (escalonamento e 2×3${\displaystyle 2\times 3}$).Dizemos que z${\displaystyle z}$ é uma incógnita livre, ou seja, o valor de z${\displaystyle z}$ pode ser qualquer número real.z=𝛼→-7y+4𝛼=-8→-7y=-8-4𝛼→y=8+4𝛼

7${\displaystyle z=𝛼\to -7y+4𝛼=-8\to -7y=-8-4𝛼\to y={\displaystyle \frac{8+4𝛼}{7}}}$x+2·(8+4𝛼

7)-𝛼=3→7x+2(8+4𝛼)-7𝛼=21→7x=5-𝛼→x=5-𝛼

7${\displaystyle x+2·\left({\displaystyle \frac{8+4𝛼}{7}}\right)-𝛼=3\to 7x+2(8+4𝛼)-7𝛼=21\to 7x=5-𝛼\to x={\displaystyle \frac{5-𝛼}{7}}}$Portanto, a solução geral é dada por (5-𝛼

7;8+4𝛼

7;𝛼)${\displaystyle ({\displaystyle \frac{5-𝛼}{7}};{\displaystyle \frac{8+4𝛼}{7}};𝛼)}$.

c) a

2x-4y+10z		=6
3x-6y+15z		=1

→a

x-2y+5z		=3
3x-6y+15z		=11

:(2) →a

x-2y+5z		=3
0x+0y+0z		=2

·(-3) +Portanto, temos um sistema impossível dado pelo conjunto vazio.

d) a

3x-2y		=4
x+3y		=2
-x+4y		=5

→a

x+3y		=2
3x-2y		=-5
-x+4y		=5

→a

x+3y		=2
-11y		=-11
7y		=7

·(-3) ·(1) + +Esse sistema tem o número de equações maior do que o número de variáveis (3×2${\displaystyle 3\times 2}$).As duas primeiras equações obtidas formam um sistema escalonado que, resolvido nos dá:7y=7→y=1${\displaystyle 7y=7\to y=1}$Substituindo y=1${\displaystyle y=1}$ na primeira equação, temos:x+3y=2→x+3(1)=2${\displaystyle x+3y=2\to x+3(1)=2}$x=2-3→x=-1${\displaystyle x=2-3\to x=-1}$Portanto, a solução é dada por (-1;1)${\displaystyle (-1;1)}$.

e) a

x-2y		=4
4x-6y		=10
6x-9y		=0

→a

x-2y		=4
2y		=-6
3y		=-24

·(-4) ·(-6) + +Resolvendo a última equação, temos:3y=-24→y=-8${\displaystyle 3y=-24\to y=-8}$Resolvendo a penúltima equação, temos:2y=-6→y=-3${\displaystyle 2y=-6\to y=-3}$Logo, o sistema é impossível, pois não podemos ter, simultaneamente, y=-3${\displaystyle y=-3}$ e y=-8${\displaystyle y=-8}$.Portanto, S=∅${\displaystyle S=\varnothing }$.

f) a

3x-9y		=6
5x-15y		=10
-2x+6y		=-4

→a

x-3y		=2
5x-15y		=10
-2x+6y		=-4

:(3) ·(5) ·(+2) + + →a

x-3y		=2
0x+0y		=0
0x+0y		=0

→a

x-3y		=2
0y		=0

A incógnita y${\displaystyle y}$ é livre.Para y=𝛼${\displaystyle y=𝛼}$, com 𝛼∈R${\displaystyle 𝛼\in \mathbb{R}}$, temos:x-3𝛼=2→x=2+3𝛼${\displaystyle x-3𝛼=2\to x=2+3𝛼}$.Logo, o sistema é possível e indeterminado, com solução geral (2+3𝛼,𝛼)${\displaystyle (2+3𝛼,𝛼)}$Bibliografia[1] ${\displaystyle [1]}$BARRETO FILHO, Beningno; SILVA, Cláudio Xavier. Matemática Aula por Aula. FTD. São Paulo. 2004[2] ${\displaystyle [2]}$BOYER, C.D. História da Matemática. São Paulo. Edgard Blücher, 1971.[3] ${\displaystyle [3]}$CARAÇA, B.J. Lições de álgebra e análise. Lisboa. Diário de Notícias, 1979.