Frame inercial local e curvatura do espaço-tempo

a

por Gilson WürzFrames inerciais e a curvatura do espaço-tempo

Parte 2

Até agora, vimos como as partículas livres se movem no espaço-tempo e isso nos levou ao con-ceito de geodésica. Mas temos que entender com mais detalhes como esses dois conceitos es-tão relacionados.Lembramos que a equação geodésica para uma partícula com massa é: d2x𝛽

d𝜏2+𝛤𝛽𝜇𝜈dx𝜇

d𝜏dx𝜈

d𝜏=0${\displaystyle {\displaystyle \frac{d^2{x}^{𝛽}}{d{𝜏}^2}}+{𝛤}_{𝜇𝜈}^{𝛽}{\displaystyle \frac{d{x}^{𝜇}}{d𝜏}}{\displaystyle \frac{d{x}^{𝜈}}{d𝜏}}=0}$Como sabemos que na Relatividade Geral a gravidade é equivalente à curvatura do espaço-tem-po, podemos afirmar que, se todos os símbolos de Christoffel forem nulos, o espaço-tempo seráplano. Assim, em que geodésica possuimos linhas retas? Sup. HiperbólicaSup. CilíndricaSup. EsféricaIlustração: Gilson Würz Curvatura de superfícies bi- dimensionaisDe fato, o que procuramos é ageneralização para o espaço -tempo quadridimensional da cur-vatura gaussiana bidimensional, por exemplo, uma maneira de determinar a medida intrínsecada curvatura, dependendo ape-nas das distâncias medidas nasuperfície, e não na maneira co-mo é incorporado em qualquer espa-ço.Se você pegar um pedaço de papel plano e dobrá-lo com cuidado, ele se dobra em apenas umadireção por vez. Em qualquer ponto do papel, você pode encontrar pelo menos uma direção a-través da qual existe uma linha reta na superfície. Você pode dobrá-lo em um cilindro ou em umcone, mas nunca pode dobrá-lo sem amassar ou distorcer para obter uma parte da superfície deuma esfera.Em termos gaussianos, a curvatura do cilindro - definida como o produto k1k2${\displaystyle k_1{k}_2}$das duas curvatu-ras principais - é nula porque uma dessas entidades - aquela ao longo do eixo do cilindro - é nu-la.Neste artigo, queremos encontrar um teste semelhante ao dobra de pedaço de papel usado emduas dimensões.No espaço-tempo quadridimensional, o teste será tentar transformar uma métrica geral g𝜇𝜈${\displaystyle g_{𝜇𝜈}}$ na forma de Minkowski 𝜂𝜇𝜈${\displaystyle {𝜂}_{𝜇𝜈}}$ por uma transformação de coordenadas apropriada x𝜇⇾x'𝜇${\displaystyle x^{𝜇}⇾x{\text{'}}^{𝜇}}$. ag𝜇𝜈(x𝛼)⟶g'𝜇𝜈(x'𝛼)=𝜂𝜇𝜈x𝛼⟶x'𝛼${\displaystyle \begin{array}{l}{g}_{𝜇𝜈}\left(x^{𝛼}\right)⟶g{\text{'}}_{𝜇𝜈}\left(x{\text{'}}^{𝛼}\right)={𝜂}_{𝜇𝜈}\\ x^{𝛼}⟶x{\text{'}}^{𝛼}\end{array}}$Da generalização do tensor métrico numa variedade pseudo-riemanniana, sabemos que a mé-trica g𝜇𝜈${\displaystyle g_{𝜇𝜈}}$ possui 10${\displaystyle 10}$ componentes independentes (16-6)${\displaystyle (16-6)}$, pois o tensor é simétrico.Também em relação à transformação de coordenadas x𝛼⟶x'𝛼${\displaystyle x^{𝛼}⟶x{\text{'}}^{𝛼}}$, temos a opção de encontraruma função que relacione x'𝛼${\displaystyle x{\text{'}}^{𝛼}}$ a (x0,x1,x2,x3)${\displaystyle (x^0,x^1,x^2,x^3)}$ para cada valor 0,1,2${\displaystyle 0,1,2}$ e 3${\displaystyle 3}$ de 𝛼${\displaystyle 𝛼}$.Portanto, temos 4 graus de liberdade para preencher 10 condições, o que geralmente não é pos-sível: como esperado, geralmente é impossível reduzir uma métrica que descreve um espaço-tempo curvo ao de um espaço-tempo plano por uma transformação de coordenadas. Sup. EsféricaIlustração: Gilson WürzLocalmente planoPFrame Inercial Local Parece que precisamos ser me-nos ambiciosos e tentar encon-trar um sistema de coordenadaspreparado apenas localmente,ou seja, em torno de um evento P${\displaystyle P}$ no espaço-tempo- poderia reduzir a métrica g𝜇𝜈${\displaystyle g_{𝜇𝜈}}$em P${\displaystyle P}$ para a métrica plana deMinkowski no espaço-tempo 𝜂𝜇𝜈${\displaystyle {𝜂}_{𝜇𝜈}}$;- e para os quais todas as primeirasderivadas da métrica g'𝜇𝜈${\displaystyle g{\text{'}}_{𝜇𝜈}}$ são zero.Se fizermos a analogia da superfície curva da Terra, teremos que isolar muitas pequenas man-chas quadradas, cada uma delas bem próxima do plano.Recordando que uma métrica arbitrária pode ser expressa como: g𝜇𝜈=𝜂𝛼𝛽∂𝜉𝛼

∂x𝜇∂𝜉𝛽

∂x𝜈${\displaystyle g_{𝜇𝜈}={𝜂}_{𝛼𝛽}{\displaystyle \frac{\partial {𝜉}^{𝛼}}{\partial x^{𝜇}}}{\displaystyle \frac{\partial {𝜉}^{𝛽}}{\partial x^{𝜈}}}}$e mais geralmente que os componentes de um tensor métrico no sistema de coordenadas comlinha (x'𝛼) ${\displaystyle x{\text{'}}^{𝛼})}$ podem ser expressos em coordenadas não linhadas (x𝛼) ${\displaystyle x^{𝛼})}$como: g'𝜇𝜈=𝜂𝛼𝛽∂𝜉𝛼

∂x'𝜇∂𝜉𝛽

∂x'𝜈${\displaystyle g{\text{'}}_{𝜇𝜈}={𝜂}_{𝛼𝛽}{\displaystyle \frac{\partial {𝜉}^{𝛼}}{\partial x{\text{'}}^{𝜇}}}{\displaystyle \frac{\partial {𝜉}^{𝛽}}{\partial x{\text{'}}^{𝜈}}}}$Cada uma das derivadas parciais é uma função das coordenadas iniciadas, portanto, para umaregião próxima ao ponto de evento P${\displaystyle P}$, podemos expandir essas derivadas na série Taylor: ∂x𝛼

∂x'𝜇(x'P+𝛥x')=a𝛼𝜇+b𝛼𝜇𝜈𝛥x'𝜈+c𝛼𝜇𝜈𝛽𝛥x'𝜈𝛥x'𝛽+⋯${\displaystyle {\displaystyle \frac{\partial x^{𝛼}}{\partial x{\text{'}}^{𝜇}}}(x{\text{'}}_P+𝛥x\text{'})=a_{𝜇}^{𝛼}+b_{𝜇𝜈}^{𝛼}𝛥x{\text{'}}^{𝜈}+c_{𝜇𝜈𝛽}^{𝛼}𝛥x{\text{'}}^{𝜈}𝛥x{\text{'}}^{𝛽}+\cdots }$ a𝛼𝜇=(∂x𝛼

∂x'𝜇)(x'P)${\displaystyle a_{𝜇}^{𝛼}=\left({\displaystyle \frac{\partial x^{𝛼}}{\partial x{\text{'}}^{𝜇}}}\right)(x{\text{'}}_P)}$ b𝛼𝜇𝜈=∂

∂x'𝜈(∂x𝛼

∂x'𝜇)(x'P)=∂2x𝛼

∂x'𝜈∂x'𝜇(x'P)${\displaystyle b_{𝜇𝜈}^{𝛼}={\displaystyle \frac{\partial }{\partial x{\text{'}}^{𝜈}}}\left({\displaystyle \frac{\partial x^{𝛼}}{\partial x{\text{'}}^{𝜇}}}\right)(x{\text{'}}_P)={\displaystyle \frac{{\partial }^2{x}^{𝛼}}{\partial x{\text{'}}^{𝜈}\partial x{\text{'}}^{𝜇}}}(x{\text{'}}_P)}$ c𝛼𝜇𝜈𝛽=1

2!(∂2

∂x'𝛽∂x'𝜇(∂x𝛼

∂x'𝜇))(x'P)=1

2!∂3x𝛼

∂x'𝛽∂x'𝜈∂x'𝜇(x'P)${\displaystyle c_{𝜇𝜈𝛽}^{𝛼}={\displaystyle \frac{1}{2!}}\left({\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x{\text{'}}^{𝛽}\partial x{\text{'}}^{𝜇}}}\right({\displaystyle \frac{\partial x^{𝛼}}{\partial x{\text{'}}^{𝜇}}}\left)\right)(x{\text{'}}_P)={\displaystyle \frac{1}{2!}}{\displaystyle \frac{{\partial }^3{x}^{𝛼}}{\partial x{\text{'}}^{𝛽}\partial x{\text{'}}^{𝜈}\partial x{\text{'}}^{𝜇}}}(x{\text{'}}_P)}$Essas três quantidades representam coeficientes constantes que podemos escolher livremente,a fim de encontrar uma estrutura inercial local ao redor do evento P${\displaystyle P}$.Vamos tentar contar os graus de liberdade que temos em cada etapa deste desenvolvimento dasérie Taylor.No caso do coeficiente a𝛼𝜇${\displaystyle a_{𝜇}^{𝛼}}$, podemos escolher livremente os 16 coeficientes (4 valores possíveispara 𝛼×4${\displaystyle 𝛼\times 4}$ valores possíveis para 𝜇${\displaystyle 𝜇}$).Em relação ao coeficiente b𝛼𝜇𝜈${\displaystyle b_{𝜇𝜈}^{𝛼}}$, ainda temos 4 valores possíveis para a${\displaystyle a}$, mas apenas 10 opçõesdistintas possíveis acima de 16 para 𝜇${\displaystyle 𝜇}$ e 𝜈${\displaystyle 𝜈}$, pois a ordem das derivadas parciais não importa a-qui (por exemplo, ∂2x𝛼

∂x'1∂x'2=∂2x𝛼

∂x'2∂x'1${\displaystyle {\displaystyle \frac{{\partial }^2{x}^{𝛼}}{\partial x{\text{'}}^1\partial x{\text{'}}^2}}={\displaystyle \frac{{\partial }^2{x}^{𝛼}}{\partial x{\text{'}}^2\partial x{\text{'}}^1}}}$ . Existem então 4×𝛼=4×10=40${\displaystyle 4\times 𝛼=4\times 10=40}$ valores para b𝛼𝜇𝜈${\displaystyle b_{𝜇𝜈}^{𝛼}}$que podemos escolher livremente.Quando se trata de c𝛼𝜇𝜈𝛽${\displaystyle c_{𝜇𝜈𝛽}^{𝛼}}$, novamente a ordem das 3 derivadas parciais não importam, portanto,para cada valor de 𝛼${\displaystyle 𝛼}$, podemos ter 𝜇=𝜈=𝛽${\displaystyle 𝜇=𝜈=𝛽}$, ou dois índices iguais ao terceiro diferente ou ostrês índices diferentes. Temos então que calcular o número de vezes que cada possibilidade (0,1,2,3) aparece no tripleto (𝜇,𝜈,𝛽)${\displaystyle (𝜇,𝜈,𝛽)}$: por exemplo, no caso das três seguintes combinações c1023=c1032=c1302${\displaystyle c_{023}^1=c_{032}^1=c_{302}^1}$, diria que todos são equivalentes a uma vez 0, uma vez 1 e uma vez 2. Issopode ser representado com a notação x||x|x${\displaystyle x||x|x}$ onde o primeiro caso representa o número 0, osegundo caso representa o número 1 e o o terceiro representa o número 2. Outro exemplo seriaos três coeficientes distintos c1002=c1020=c1200${\displaystyle c_{002}^1=c_{020}^1=c_{200}^1}$ que seriam representados de uma maneira úni-ca por xx|||x${\displaystyle xx|||x}$ (2 número zero no primeiro caso, 0 número 1 no segundo caso e 1 número 2 noúltimo caso). O número de coeficientes independentes c𝛼𝜇𝜈𝛽${\displaystyle c_{𝜇𝜈𝛽}^{𝛼}}$ é então obtido pelo número de pos-síveis permutações não ordenadas de três x${\displaystyle x}$ e n-1${\displaystyle n-1}$ símbolos |${\displaystyle |}$ em casos n+2${\displaystyle n+2}$, que é por defi-nição (n+2)!

3!(n-1)!=(n+2)(n+1)n

6${\displaystyle {\displaystyle \frac{(n+2)!}{3!(n-1)!}}={\displaystyle \frac{(n+2)(n+1)n}{6}}}$.Como 𝛼${\displaystyle 𝛼}$ pode assumir valores de n${\displaystyle n}$, finalmente obtemos o número de possibilidades iguais a (n+2)(n+1)n

6${\displaystyle {\displaystyle \frac{(n+2)(n+1)n}{6}}}$; portanto, para n=4${\displaystyle n=4}$, obtemos o número de coeficientes independentes c𝛼𝜇𝜈𝛽=16×5=80${\displaystyle c_{𝜇𝜈𝛽}^{𝛼}=16\times 5=80}$ valores.Também podemos pensar na métrica não-primitiva como uma função das coordenadas prepara-das e expandí-la também em uma série de Taylor: g𝛼𝛽(x'P+𝛥x')=g𝛼𝛽(x'P)+𝛥x'𝛾g𝛼𝛽,𝛾(x'P)+1

2𝛥x'𝛾𝛥x'𝜎g𝛼𝛽,𝛾𝜎(x'P)+⋯${\displaystyle g_{𝛼𝛽}(x{\text{'}}_P+𝛥x\text{'})=g_{𝛼𝛽}(x{\text{'}}_P)+𝛥x{\text{'}}^{𝛾}{g}_{𝛼𝛽,𝛾}(x{\text{'}}_P)+{\displaystyle \frac{1}{2}}𝛥x{\text{'}}^{𝛾}𝛥x{\text{'}}^{𝜎}{g}_{𝛼𝛽,𝛾𝜎}(x{\text{'}}_P)+\cdots }$Agora podemos substituir o produto dos derivados parciais pela métrica não preparada em um ecoletar termos. Devido ao grande número de índices flutuando, é mais fácil usar uma notaçãocondensada para esta etapa. [∂x

∂x']=a+b(𝛥x')+c(𝛥x')2+⋯${\displaystyle \left[{\displaystyle \frac{\partial x}{\partial x\text{'}}}\right]=a+b(𝛥x\text{'})+c(𝛥x\text{'}{)}^2+\cdots }$ g=gp+𝛥x'∂'gp+1

2(𝛥x')2∂'2gP+⋯${\displaystyle g=g_p+𝛥x\text{'}\partial \text{'}{g}_p+{\displaystyle \frac{1}{2}}(𝛥x\text{'}{)}^2\partial {\text{'}}^2{g}_P+\cdots }$ g'=${\displaystyle g\text{'}=}$[∂x

∂x']2g=[a+b(𝛥x')+c(𝛥x')2+⋯]2[gp+𝛥x'∂'gp+1

2(𝛥x')2∂'2gP+⋯] ${\displaystyle [{\displaystyle \frac{\partial x}{\partial x\text{'}}}{]}^{2}g=[a+b(𝛥x\text{'})+c(𝛥x\text{'}{)}^2+\cdots {]}^2[g_p+𝛥x\text{'}\partial \text{'}{g}_p+{\displaystyle \frac{1}{2}}(𝛥x\text{'}{)}^2\partial {\text{'}}^2{g}_P+\cdots ]}$ ag'=a2gP+(abgP+bagP+a2∂'gP)𝛥x'+(acgP+b2gP+cagP+ab∂'gP+⋯⋯+1

2a2∂'2gP)(𝛥x')2+⋯${\displaystyle \begin{array}{l}g\text{'}=a^2{g}_P+(ab{g}_P+ba{g}_P+a^2{\partial }^{\text{'}}{g}_P)𝛥x\text{'}+(ac{g}_P+b^2{g}_P+ca{g}_P+ab\partial \text{'}{g}_P+\cdots \\ \cdots +{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2\partial {\text{'}}^2{g}_P)(𝛥x\text{'}{)}^2+\cdots \end{array}}$Se finalmente estamos expandindo a expansão de Taylor de g(x'P+𝛥x')${\displaystyle g(x{\text{'}}_P+𝛥x\text{'})}$, onde todo fator agoraé uma função de x'${\displaystyle x\text{'}}$, obtemos: g'𝜇𝜈(x'P+𝛥x')=g'𝜇𝜈(x'P)+𝛥x'𝛾∂'𝛾g'𝜇𝜈(x'P)+1

2𝛥x'𝛾𝛥x'𝜎∂'𝛾∂'𝜎g'𝜇𝜈(x'P)${\displaystyle g{\text{'}}_{𝜇𝜈}(x{\text{'}}_P+𝛥x\text{'})=g{\text{'}}_{𝜇𝜈}(x{\text{'}}_P)+𝛥x{\text{'}}^{𝛾}\partial {\text{'}}_{𝛾}g{\text{'}}_{𝜇𝜈}(x{\text{'}}_P)+{\displaystyle \frac{1}{2}}𝛥x{\text{'}}^{𝛾}𝛥x{\text{'}}^{𝜎}\partial {\text{'}}_{𝛾}\partial {\text{'}}_{𝜎}g{\text{'}}_{𝜇𝜈}(x{\text{'}}_P)}$Portanto, temos, tomando cada termo separadamente e restaurando os índices: g'𝜇𝜈(x'P)=a2gP=a𝛼𝜇a𝛽𝜈(g𝛼𝛽)P=𝜂𝜇𝜈${\displaystyle g{\text{'}}_{𝜇𝜈}(x{\text{'}}_P)=a^2{g}_P=a_{𝜇}^{𝛼}{a}_{𝜈}^{𝛽}(g_{𝛼𝛽}{)}_P={𝜂}_{𝜇𝜈}}$Como vimos acima, cada escolha dos dois índices 𝛼${\displaystyle 𝛼}$ e 𝜇${\displaystyle 𝜇}$ fornece uma quantidade independente,portanto existem 16 variáveis ​​diferentes e, portanto, temos 6 graus de liberdade a mais do queprecisamos para resolver g'𝜇𝜈(x'P)=𝜂𝜇𝜈${\displaystyle g{\text{'}}_{𝜇𝜈}(x{\text{'}}_P)={𝜂}_{𝜇𝜈}}$ (𝜂𝜇𝜈${\displaystyle {𝜂}_{𝜇𝜈}}$ sendo simétrico apenas requer 10 coeficientes in-dependentes). ${\displaystyle }$a∂'𝛾g'𝜇𝜈(x'P)=abgP+bagP+a2∂'gP∂'𝛾g'𝜇𝜈(x'P)=a𝛼𝜇a𝛽𝜈𝛾[g𝛼𝛽]P+b𝛼𝜇𝛾a𝛽𝜈[g𝛼𝛽]P+a𝛼𝜇a𝛽𝜈[∂'g𝛼𝛽]P${\displaystyle \begin{array}{l}\partial {\text{'}}_{𝛾}g{\text{'}}_{𝜇𝜈}(x{\text{'}}_P)=ab{g}_P+ba{g}_P+a^2{\partial }^{\text{'}}{g}_P\\ \partial {\text{'}}_{𝛾}g{\text{'}}_{𝜇𝜈}(x{\text{'}}_P)=a_{𝜇}^{𝛼}{a}_{𝜈𝛾}^{𝛽}[g_{𝛼𝛽}{]}_P+b_{𝜇𝛾}^{𝛼}{a}_{𝜈}^{𝛽}[g_{𝛼𝛽}{]}_P+a_{𝜇}^{𝛼}{a}_{𝜈}^{𝛽}[\partial \text{'}{g}_{𝛼𝛽}{]}_P\end{array}}$Novamente, como g'𝜇𝜈${\displaystyle g{\text{'}}_{𝜇𝜈}}$ é simétrico, temos 10 valores distintos que devem ser multplicados pelos4 valores distintos da derivada parcial, o que fornece 40 equações independentes. Temos grausde liberdade suficientes para verificar que ∂'𝛾g'𝜇𝜈=0${\displaystyle \partial {\text{'}}_{𝛾}g{\text{'}}_{𝜇𝜈}=0}$ em torno do ponto P?Lembrando de cima que existem 4×10=40${\displaystyle 4\times 10=40}$ valores para b𝛼𝜇𝜈${\displaystyle b_{𝜇𝜈}^{𝛼}}$ que podemos escolher livremen-te, temos graus de liberdade suficientes para preencher essa condição.Acabamos de definir o que é chamado de Frame Inercial Local: matematicamente, é um quadrode coordenadas em que a métrica é localmente equivalente à métrica de Minkowski e para aqual impomos a restrição de que todos os derivados da métrica sejam localmente igual a zero.Fisicamente, esse é o referencial de queda livre do nosso famoso Princípio da Equivalência, noqual a gravidade parece desaparecer localmente.No caso de uma matriz simétrica de dimensão N, podemos mostrar facilmente que o número devalores distintos é igual a n(n+1)

2${\displaystyle {\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}}$. Se n=4${\displaystyle n=4}$, o número de valores distintos é então 4(5)

2=10${\displaystyle {\displaystyle \frac{4(5)}{2}}=10}$.