Funções compostas

aFunções compostasGilson Würz. MathFunção composta e sua linguagem formal Considerando as funções f:A→B${\displaystyle f:A\to B}$ e g:B →C,${\displaystyle g:B\to C,}$temos que a função composta de g${\displaystyle g}$ com f${\displaystyle f}$ é a função g∘f:A →C${\displaystyle g\circ f:A\to C}$, sendo (g∘f)(x)=g[f(x)]${\displaystyle (g\circ f)(x)=g[f(x)]}$.

ACBxfg∘fgy=f(x)g[f(x)]Resolvidos1) Dadas as funções f${\displaystyle f}$ e g${\displaystyle g}$ de R${\displaystyle \mathbb{R}}$ em R${\displaystyle \mathbb{R}}$, definidas por f(x)=x+5${\displaystyle f(x)=x+5}$ e g(x)=x2-1${\displaystyle g(x)=x^2-1}$, determine as funções compostas g ∘f${\displaystyle g\circ f}$ e f ∘g${\displaystyle f\circ g}$.Solução(g∘f)(x)=g[f(x)]${\displaystyle (g\circ f)(x)=g[f(x)]}$. Sendo g(x)=x2-1${\displaystyle g(x)=x^2-1}$, então: g∘f(x)=g[f(x)]=[f(x)]2-1${\displaystyle g\circ f(x)=g[f(x)]=[f(x){]}^2-1}$Como f(x)=x+5,${\displaystyle f(x)=x+5,}$ temos:ag∘f(x)=g[f(x)]=(x+5)2-1g[f(x)]=x2+10x+25-1g[f(x)]=x2+10x+24${\displaystyle \begin{array}{l}g\circ f(x)=g[f(x)]=(x+5{)}^2-1\\ g[f(x)]=x^2+10x+25-1\\ g[f(x)]=x^2+10x+24\end{array}}$.Enquanto que:f∘g(x)=f[g(x)]${\displaystyle f\circ g(x)=f[g(x)]}$. Sendo que: f(x)=x+5${\displaystyle f(x)=x+5}$, então: (f∘g)(x)=f[g(x)]=g(x)+5.${\displaystyle (f\circ g)(x)=f[g(x)]=g(x)+5.}$Como g(x)=x2-1,${\displaystyle g(x)=x^2-1,}$temos:a(f∘g)(x)=f[g(x)]=x2-1+5(f∘g)(x)=f[g(x)]=x2+4.${\displaystyle \begin{array}{l}(f\circ g)(x)=f[g(x)]=x^2-1+5\\ (f\circ g)(x)=f[g(x)]=x^2+4.\end{array}}$ 2) Sabendo que D(f)=R-{1,2}${\displaystyle D(f)=\mathbb{R}-\{1,2\}}$ e que f(x)=1

x-1${\displaystyle f(x)={\displaystyle \frac{1}{x-1}}}$, determine f[f(x)]${\displaystyle f[f(x)]}$.Soluçãoaf[f(x)]=1

f(x)-1 f[f(x)]=1

1

x-1-1 f[f(x)]=1

1-x+1

x-1 f[f(x)]=1

2-x

x-1 f[f(x)]=x-1

2-x${\displaystyle \begin{array}{l}f[f(x)]={\displaystyle \frac{1}{f(x)-1}}\\ \\ f[f(x)]={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{x-1}}-1}}\\ \\ f[f(x)]={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1-x+1}{x-1}}}}\\ \\ f[f(x)]={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{2-x}{x-1}}}}\\ \\ f[f(x)]={\displaystyle \frac{x-1}{2-x}}\end{array}}$3) Dadas as funções f(x)=1-2x${\displaystyle f(x)=1-2x}$ e g(x)=2x+k${\displaystyle g(x)=2x+k}$, determinar o valor de k${\displaystyle k}$ de modo que f[g(x)]=g[f(x)]${\displaystyle f[g(x)]=g[f(x)]}$.SoluçãoCalculamos f[g(x)]: f[g(x)]=1-2g(x)=1-2(2x+k)=1-4x-2k${\displaystyle f[g(x)]:f[g(x)]=1-2g(x)=1-2(2x+k)=1-4x-2k}$.Calculamos g[f(x)]: g[f(x)]=2f(x)+k=2(1-2x)+k=2-4x+k${\displaystyle g[f(x)]:g[f(x)]=2f(x)+k=2(1-2x)+k=2-4x+k}$.Sendo f[g(x)]=g[f(x)]${\displaystyle f[g(x)]=g[f(x)]}$, temos:a1-4x-2k=2-4x+k-2k-k=2-1-4x+4x-3k=1k=-1

3.${\displaystyle \begin{array}{l}1-4x-2k=2-4x+k\\ -2k-k=2-1-4x+4x\\ -3k=1\\ k=-{\displaystyle \frac{1}{3}}.\end{array}}$ Função polinomialA história conta: As primeiras notações algébricas.Você consegue imaginar a Matemática sem símbolos?O final da era grega nos chama a atenção para Diofante de Alexandria, considerado o maior algebrista grego, não só por ter encontrado soluções para as chamadas equações diofantinas, mas porque conseguiu abreviar de forma sistemática os seus pensamentos com símbolos.Nessa época cada problema algébrico exigia uma solução aprticular, não se usava uma notação algébrica e nem a classificação das equações algébricas (linear, quadrática, cúbica, ... ) com suas respectivas soluções gerais.O alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) graduado em Direito, foi conselheiro de reis e príncipes, o que o obrigou a viajar por toda a Europa. Durante essas viagens teve a oportunidade de estudar Álgebra e Geometria Analítica com Huygens. Essas missões diplomáticas deram a Leibniz a oportunidade de elaborar e desenvolver o cálculo. Embora seu trabalho tenha surgido dez anos depois daqueles elaborados por Newton também sobre cálculo, é reconhecido por ter sido desenvolvido de forma independente e com notação própria.Contribuiu para a Matemática de diversas formas, algumas em simbologia, como:❖ a

~

→

${\displaystyle \begin{array}{cc}~& \to \end{array}}$é semelhante a;❖ a

≃

→

${\displaystyle \begin{array}{cc}\simeq & \to \end{array}}$é congruente a;No entanto, os símbolos para diferenciação (dy

dx)${\displaystyle \left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)}$ e integração (y=∫dx)${\displaystyle (y=\int dx)}$ são seus triunfos no campo da notação, sendo responsável pela palavra função.Função polinomial do 1° grauA remuneração de um vendedor de uma loja de camisas é feita em suas parcelas: uma fixa, no valor de R$${\displaystyle \$}$ 500,00 e a outra variável, correspondente a uma comissão de 12% do total de vendas realizadas na semana.Notamos que a remuneração semanal, R(x), do vendedor é calculada em função do total de vendas (x) na semana e pode ser escrita do seguinte modo:R(x)=500+0,12x${\displaystyle R(x)=500+0,12x}$Chamamos função polinomial do 1° grau a função f:R→R,${\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$sendo f(x)=ax+b${\displaystyle f(x)=ax+b}$, com a,b∈R${\displaystyle a,b\in \mathbb{R}}$ e a≠0${\displaystyle a\ne 0}$.Exemplos:a

f(x)	=	2x+6	com a=2 e b=6 ;
f(x)	=	-3x+4 5	com a=-3 e b=4 5;
f(x)	=	2x	com a=2 e b=0.

${\displaystyle \begin{array}{ccrl}f(x)& =& 2x+6& \text{com }a=2\text{ e}b=6;\\ f(x)& =& -3x+\frac{4}{5}& \text{com }a=-3\text{ e}b={\displaystyle \frac{4}{5}};\\ f(x)& =& 2x& \text{com }a=2\text{ e}b=0.\end{array}}$ Função crescenteSe para quaisquer elementos x1${\displaystyle x_1}$ e x2${\displaystyle x_2}$ de um subconjunto M${\displaystyle M}$ do domínio de uma função f${\displaystyle f}$ com x1<x2${\displaystyle x_1<x_2}$, tivermos f(x1)<f(x2)${\displaystyle f(x_1)<f(x_2)}$, então diremos que f${\displaystyle f}$ é uma função crescente em M${\displaystyle M}$.No gráfico:

f(x2)f(x1)x1x2MFunção crescenteyxFunção decrescenteSe para quaisquer elementos x1${\displaystyle x_1}$ e x2${\displaystyle x_2}$ de um subconjunto M${\displaystyle M}$ do domínio de uma função f${\displaystyle f}$ com x1<x2${\displaystyle x_1<x_2}$, tivermos f(x1)<f(x2)${\displaystyle f(x_1)<f(x_2)}$, então diremos que f${\displaystyle f}$ é uma função decrescente em M${\displaystyle M}$.No gráfico:

f(x2)f(x1)x1x2MFunção decrescenteyxCaracterísticas importantes da função do primeiro grau.Conjunto domínio: o domínio da função do primeiro grau é o conjunto dos números reais D(f)=R${\displaystyle D(f)=\mathbb{R}}$.Conjunto imagem: o conjunto imagem da função do primeiro grau é o conjunto dos números reais: Im(f)=R${\displaystyle Im(f)=\mathbb{R}}$.Coeficiente angular: o coeficiente angular a${\displaystyle a}$ é denominado coeficiente angular.Coeficiente linear: o coeficiente b${\displaystyle b}$ é denominado coeficiente linear.A função do primeiro grau é crescente em R${\displaystyle \mathbb{R}}$ quando a>0${\displaystyle a>0}$ e decrescente em R${\displaystyle \mathbb{R}}$ quando a<0${\displaystyle a<0}$. Exemplos:a) Para a função f(x)=2x+4${\displaystyle f(x)=2x+4}$:■ o coeficiente angular a${\displaystyle a}$ é o número 2;■ o coeficiente linear b${\displaystyle b}$ é o número 4.Como a>0${\displaystyle a>0}$, a função é crescente em R${\displaystyle \mathbb{R}}$. b) Para a função f(x)=-2

3x+1

2${\displaystyle f(x)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}}$:■ o coeficiente angular a${\displaystyle a}$ é o número -2

3${\displaystyle -{\displaystyle \frac{2}{3}}}$;■ o coeficiente linear b${\displaystyle b}$ é o número 1

2${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}}$.Como a<0${\displaystyle a<0}$, a função é decrescente em R${\displaystyle \mathbb{R}}$. Casos particularesFunção linear: a função polinomial do primeiro grau em que o termo b${\displaystyle b}$ é nulo (b=0)${\displaystyle b=0)}$ passa a ser chamada de função linear e tem a forma: f(x)=ax${\displaystyle f(x)=ax}$.Exemplos■ y=3x${\displaystyle y=3x}$■ y=-2

3x${\displaystyle y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x}$■ y=x${\displaystyle y=x}$■ y=2·x${\displaystyle y=\sqrt{2}·x}$ Função identidade: a função polinomial do primeiro grau em que o termo b${\displaystyle b}$ é nulo (b=0)${\displaystyle b=0)}$ e a=1${\displaystyle a=1}$ passa a ser chamada de função identidade e tem a forma f(x)=x${\displaystyle f(x)=x}$. Caso o termo a${\displaystyle a}$ seja nulo (a=0)${\displaystyle a=0)}$ na expressão f(x)=ax+b${\displaystyle f(x)=ax+b}$ e b∈R${\displaystyle b\in \mathbb{R}}$, a função não é função do primeiro grau, passa a ser chamada função constante e tem a forma f(x)=b${\displaystyle f(x)=b}$. Exemplos■ y=5${\displaystyle y=5}$■ y=7${\displaystyle y=\sqrt{7}}$■ y=0${\displaystyle y=0}$■ y=-1

4${\displaystyle y=-{\displaystyle \frac{1}{4}}}$Exemplos1) Considerando a função f(x)=3x+1${\displaystyle f(x)=3x+1}$, determinar:a) os coeficientes angular e linearb) se a função é crescente ou decrescentec) f(2)${\displaystyle f(2)}$ e f(-3)${\displaystyle f(-3)}$.Soluçãoa) Observando a função f(x)=3x+1${\displaystyle f(x)=3x+1}$ e igualando com f(x)=ax+b${\displaystyle f(x)=ax+b}$, temos:a

f(x)		=3x+1
f(x)		=ax+b

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}f(x)& =3x+1\\ f(x)& =ax+b\end{array}}$A constante que está multiplica o termo em x${\displaystyle x}$ é chamado de coeficiente angular.Portanto, a=3${\displaystyle a=3}$.A constante isolada, que não está multiplicando nenhum termo em x${\displaystyle x}$, é chamada de coeficiente linear.Assim, b=1${\displaystyle b=1}$.b) A função f(x)=3x+1${\displaystyle f(x)=3x+1}$ é crescente, pois a=3→a>0${\displaystyle a=3\to a>0}$.c) a

f(x)=	3x+1
f(2)=	3(2)+1
f(2)=	6+1
f(2)=	7

${\displaystyle \begin{array}{cl}f(x)=& 3x+1\\ f(2)=& 3(2)+1\\ f(2)=& 6+1\\ f(2)=& 7\end{array}}$ a

f(x)=	3x+1
f(-3)=	3(-3)+1
f(-3)=	-9+1
f(-3)=	-8

${\displaystyle \begin{array}{ll}f(x)=& 3x+1\\ f(-3)=& 3(-3)+1\\ f(-3)=& -9+1\\ f(-3)=& -8\end{array}}$2) Conhecendo a função f(x)=-5

2x${\displaystyle f(x)=-\frac{5}{2}x}$, determinar:a) coeficientes angular e linearb) se a função é crescente ou decrescentec) f(-1)${\displaystyle f(-1)}$ e f(2)${\displaystyle f(2)}$d) x${\displaystyle x}$ para que se tenha f(x)=20${\displaystyle f(x)=20}$Soluçãoa) O coeficiente que multiplica o termo em x${\displaystyle x}$ é o número -5

2${\displaystyle -\frac{5}{2}}$ e é chamado de coeficiente angular. Por mais que a função f(x)=-5

2x${\displaystyle f(x)=-\frac{5}{2}x}$ esteja escrita na forma f(x)=ax+b${\displaystyle f(x)=ax+b}$, devemos colocá-la nessa forma para identificar o valor do coeficiente linear. Assim a equação deve ser escrita como, f(x)=-5

2x+0${\displaystyle f(x)=-\frac{5}{2}x+0}$, pois a constante b=0${\displaystyle b=0}$ é o único coeficiente que não altera a função f(x)${\displaystyle f(x)}$ devido o mesmo ser elemento neutro na soma.Portanto, o coeficiente linear é igual a zero.b) Analisando o sinal do coeficiente angular podemos classificar a função como crescente ou descrecente. No caso do enunciado, temos a=-5

2→a<0${\displaystyle a=-\frac{5}{2}\to a<0}$. Portanto, a função f(x)${\displaystyle f(x)}$ é decrescente.c) a

f(x)=	-5 2x
f(-1)=	-5 2(-1)
f(-1)=	5 2

${\displaystyle \begin{array}{cc}f(x)=& -\frac{5}{2}x\\ f(-1)=& -\frac{5}{2}(-1)\\ f(-1)=& \frac{5}{2}\end{array}}$ a

f(x)=	-5 2x
f(2)=	-5 2(2)
f(2)=	-10 2
f(2)=	-5

${\displaystyle \begin{array}{cc}f(x)=& -\frac{5}{2}x\\ f(2)=& -\frac{5}{2}(2)\\ f(2)=& -\frac{10}{2}\\ f(2)=& -5\end{array}}$d) Para determinar o valor de x${\displaystyle x}$ para obter f(x)=20${\displaystyle f(x)=20}$, temos que:f(x)=-5

2x→20=-5

2x→40=-5x→x=-40

5=-8${\displaystyle f(x)=-\frac{5}{2}x\to 20=-\frac{5}{2}x\to 40=-5x\to x=-\frac{40}{5}=-8}$3) Determinar a lei da função que é do tipo f(x)=ax+b${\displaystyle f(x)=ax+b}$ e calcular f(12)${\displaystyle f(12)}$, sabendo que f(1)=2${\displaystyle f(1)=2}$ e f(3)=8${\displaystyle f(3)=8}$.SoluçãoPara determinar a função f${\displaystyle f}$ vamos considerar que:Se f(1)=2${\displaystyle f(1)=2}$ e f(x)=ax+b${\displaystyle f(x)=ax+b}$, então: x=1${\displaystyle x=1}$ e ax+b=2${\displaystyle ax+b=2}$.Logo, a+b=2${\displaystyle a+b=2}$ (I)Se f(3)=8${\displaystyle f(3)=8}$ e f(x)=ax+b${\displaystyle f(x)=ax+b}$, então: x=3${\displaystyle x=3}$ e ax+b=8${\displaystyle ax+b=8}$.Logo, 3a+b=8${\displaystyle 3a+b=8}$ (II)Resolvendo o sistema linear, temos:a

a+b		=2
3a+b		=8

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}a+b& =2\\ 3a+b& =8\end{array}}$Da equação (I), temos: b=2-a${\displaystyle b=2-a}$Substituindo na equação (II): 3a+2-a=8→2a=6→a=3${\displaystyle 3a+2-a=8\to 2a=6\to a=3}$Substituindo a=3${\displaystyle a=3}$ na equação b-2a${\displaystyle b-2a}$: b=-1${\displaystyle b=-1}$.Portanto, a função f${\displaystyle f}$ é dada por f(x)=3x-1${\displaystyle f(x)=3x-1}$Para determinar f(2)${\displaystyle f(2)}$, fazemos:f(x)=3x-1${\displaystyle f(x)=3x-1}$f(2)=3(2)-1${\displaystyle f(2)=3(2)-1}$f(2)=5${\displaystyle f(2)=5}$4) Uma função f${\displaystyle f}$ do primeiro grau. As imagens de (-2)${\displaystyle (-2)}$ e de 0 são 11 e 3, respectivamente. Qual é a lei de f${\displaystyle f}$ ?SoluçãoDeterminando a função f(x)=ax+b${\displaystyle f(x)=ax+b}$Se f(-2)=11${\displaystyle f(-2)=11}$, então x=-2${\displaystyle x=-2}$ e -2a+b=11${\displaystyle -2a+b=11}$ (I)Se f(0)=3${\displaystyle f(0)=3}$, então x=0${\displaystyle x=0}$ e b=3${\displaystyle b=3}$ (II)Resolvendo o sistema a

b		=3
-2a+b		=11

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}b& =3\\ -2a+b& =11\end{array}}$Temos: a=-4${\displaystyle a=-4}$Logo, f(x)=-4x+3${\displaystyle f(x)=-4x+3}$Atividades1) Determine os coeficientes angular e linear, classifique em crescente ou decrescente e calcule f(2)${\displaystyle f(2)}$, f(-4)${\displaystyle f(-4)}$ e f(0)${\displaystyle f(0)}$ das seguintes funções:a) f(x)=x+3${\displaystyle f(x)=x+3}$b) f(x)=2+4x${\displaystyle f(x)=2+4x}$c) f(x)=-7

2x${\displaystyle f(x)=-\frac{7}{2}x}$Soluçãoa) Coeficiente angular: a=1${\displaystyle a=1}$Coeficiente linear: b=3${\displaystyle b=3}$Função crescente, pois a=1→a>0${\displaystyle a=1\to a>0}$. Calculando f${\displaystyle f}$ para x=2${\displaystyle x=2}$f(x)=x+3${\displaystyle f(x)=x+3}$f(2)=2+3${\displaystyle f(2)=2+3}$f(2)=5${\displaystyle f(2)=5}$ Calculando f${\displaystyle f}$ para x=-4${\displaystyle x=-4}$f(x)=x+3${\displaystyle f(x)=x+3}$f(-4)=-4+3${\displaystyle f(-4)=-4+3}$f(-4)=-1${\displaystyle f(-4)=-1}$ Calculando f${\displaystyle f}$ para x=0${\displaystyle x=0}$f(x)=x+3${\displaystyle f(x)=x+3}$f(0)=0+3${\displaystyle f(0)=0+3}$f(0)=3${\displaystyle f(0)=3}$ b) Coeficiente angular: a=4${\displaystyle a=4}$Coeficiente linear: b=2${\displaystyle b=2}$Função crescente, pois a=4→a>0${\displaystyle a=4\to a>0}$. Calculando f${\displaystyle f}$ para x=2${\displaystyle x=2}$f(x)=4x+2${\displaystyle f(x)=4x+2}$f(2)=4(2)+2${\displaystyle f(2)=4(2)+2}$f(2)=8+2${\displaystyle f(2)=8+2}$f(2)=10${\displaystyle f(2)=10}$ Calculando f${\displaystyle f}$ para x=-4${\displaystyle x=-4}$f(x)=4x+2${\displaystyle f(x)=4x+2}$f(-4)=4(-4)+2${\displaystyle f(-4)=4(-4)+2}$f(-4)=-16+2${\displaystyle f(-4)=-16+2}$f(-4)=-14${\displaystyle f(-4)=-14}$ Calculando f${\displaystyle f}$ para x=0${\displaystyle x=0}$f(x)=4x+2${\displaystyle f(x)=4x+2}$f(0)=4(0)+2${\displaystyle f(0)=4(0)+2}$f(0)=2${\displaystyle f(0)=2}$ c) Coeficiente angular: a=-7

2${\displaystyle a=-\frac{7}{2}}$Coeficiente linear: b=0${\displaystyle b=0}$Função decrescente, pois a=-7

2→a<0${\displaystyle a=-\frac{7}{2}\to a<0}$. Calculando f${\displaystyle f}$ para x=2${\displaystyle x=2}$f(x)=-7

2x${\displaystyle f(x)=-\frac{7}{2}x}$f(2)=-7

2(2)${\displaystyle f(2)=-\frac{7}{2}(2)}$f(2)=-14

2${\displaystyle f(2)=-\frac{14}{2}}$f(2)=-7${\displaystyle f(2)=-7}$ Calculando f${\displaystyle f}$ para x=-4${\displaystyle x=-4}$f(x)=-7

2x${\displaystyle f(x)=-\frac{7}{2}x}$f(x)=-7

2(-4)${\displaystyle f(x)=-\frac{7}{2}(-4)}$f(-4)=-(-28)

2${\displaystyle f(-4)=-\frac{(-28)}{2}}$f(-4)=14${\displaystyle f(-4)=14}$ Calculando f${\displaystyle f}$ para x=0${\displaystyle x=0}$f(x)=-7

2x${\displaystyle f(x)=-\frac{7}{2}x}$f(x)=-7

2(0)${\displaystyle f(x)=-\frac{7}{2}(0)}$f(0)=0${\displaystyle f(0)=0}$ Gráfico de uma função linearUma das maneiras de construir o gráfico de uma função linear é atribuindo valores à variável independente, obtendo pares ordenados e representado-os em um plano cartesiano.Observe como podemos construir o gráfico da função f:R→R${\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$, dada por f(x)=2x-1${\displaystyle f(x)=2x-1}$. Inicialmente, atribuímos valores para x${\displaystyle x}$ e calculamos os valores correspondentes para y${\displaystyle y}$, determinando pares ordenados (x,y)${\displaystyle (x,y)}$. Em seguida, representamos esses pares ordenados em um plano cartesiano.

a

x	f(x)=2x-1	(x,y)
-2	f(-2)=2(-2)-1=-5	A(-2,-5)
-1	f(-1)=2(-1)-1=-3	B(-1,-3)
0	f(0)=2(0)-1=-1	C(0,-1)
1	f(1)=2(1)-1=1	D(1,1)
2	f(2)=2(2)-1=3	E(2,3)
3	f(3)=2(3)-1=5	F(3,5)

A(-2,-5)B(-1,-3)C(0,-1)D(1,1)E(2,3)F(3,5)Note que determinamos apenas seis pares ordenados que satisfazem essa função. No entanto, como D(f)=R${\displaystyle D(f)=\mathbb{R}}$, podemos atribuir infinitos valores para x${\displaystyle x}$ obtendo consequentemente infinitos pares ordenados (x,y)${\displaystyle (x,y)}$.O gráfico da função é dado pela representação de todos esses pontos no plano cartesiano. Porém, como é impossível calcular as coordenadas de todos eles, calculamos as coordenadas de alguns e traçamos o gráfico.Coeficientes de uma função linear em um gráfico cartesianoOs coeficientes a${\displaystyle a}$ e b${\displaystyle b}$ de uma função linear fornecem informações a respeito do comportamento de seu gráfico. Observe o gráfico de algumas funções.

𝛼ff(x)=1

2x-1yx𝛼gg(x)=-x+3yxNo gráfico de cada uma dessas funções podemos notar que o valor da ordenada do ponto em que as retas interceptam o eixo y é igual ao coeficiente da função. por exemplo, na função f(x)=1

2-1${\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}-1}$, temos b=-1${\displaystyle b=-1}$, e o gráfico intercepta o eixo y${\displaystyle y}$ no ponto de coordenadas (0,-1)${\displaystyle (0,-1)}$.Agora, observe os gráficos a seguir.

yxf(x)=2x+3g(x)=2x-2𝛼f${\displaystyle {𝛼}_f}$𝛼g${\displaystyle {𝛼}_g}$yxh(x)=2x+3m(x)=2x-2𝛼f${\displaystyle {𝛼}_f}$𝛼g${\displaystyle {𝛼}_g}$Podemos notar que cada uma dessas retas forma um ângulo de medida 𝛼${\displaystyle 𝛼}$ com o eixo x${\displaystyle x}$. Esse ângulo está relacionado ao coeficiente a da função.As funções f${\displaystyle f}$ e g${\displaystyle g}$ possuem coeficientes 𝛼${\displaystyle 𝛼}$ iguais, e os ângulos formados com o eixo x${\displaystyle x}$ possuem mesma medida, ou seja, 𝛼f=𝛼g${\displaystyle {𝛼}_f={𝛼}_g}$. As retas que representam essas funções são paralelas.Já as funções h${\displaystyle h}$ e m${\displaystyle m}$ possuem a${\displaystyle a}$ diferentes, e os ângulos formados com o eixo x${\displaystyle x}$ também possuem medidas diferentes, ou seja, ah≠𝛼m${\displaystyle a_h\ne {𝛼}_m}$. Nesse caso, as retas que representam essas funções não são paralelas.Translação de uma função linearObserve o gráfico das funções f(x)=x${\displaystyle f(x)=x}$, g(x)=x+3${\displaystyle g(x)=x+3}$, h(x)=x+4${\displaystyle h(x)=x+4}$ e m(x)=x-2${\displaystyle m(x)=x-2}$, construídos em um mesmo plano cartesiano.

yxf(x)=xm(x)=x-2g(x)=x+3h(x)=x+4Note que essas funções possuem coeficientes angulares iguais e coeficientes lineares diferentes. Por isso, os gráficos que as representam são retas paralelas que se diferenciam pela posição que ocupam no plano cartesiano.O gráfico da função f(x)=x${\displaystyle f(x)=x}$ intercepta o eixo y${\displaystyle y}$ na origem, pois b=0${\displaystyle b=0}$. O gráfico de g(x)=x+3${\displaystyle g(x)=x+3}$ é semelhante ao gráfico f${\displaystyle f}$, porém 3 unidades para cima, interceptando o eixo y no ordenada 3, pois b=3${\displaystyle b=3}$.O gráfico de h(x)=x+4${\displaystyle h(x)=x+4}$ também é semelhante ao gráfico de f${\displaystyle f}$, porém transladado 4 unidades para cima, interceptando o eixo y no ponto de ordenada 4, pois b=4${\displaystyle b=4}$.A função m(x)=x-2${\displaystyle m(x)=x-2}$ possui gráfico semelhante ao de f${\displaystyle f}$, porém transladado 2 unidades para baixo, interceptando o eixo y no ponto de ordenada -2, pois b=-2${\displaystyle b=-2}$.Exemplos1) Nos gráficos a seguir, determine as coordenadas do ponto P${\displaystyle P}$.

yxPResoluçãoComo os gráficos das funções são retas, temos que f${\displaystyle f}$ e g${\displaystyle g}$ são funções lineares, isto é, do tipo y=ax+b${\displaystyle y=ax+b}$. Inicialmente, determinamos os coeficientes de f${\displaystyle f}$ e g${\displaystyle g}$.a

f(0)		=-1
f(2)		=0

→a

a(0)+b		=-1
a(2)+b		=0

→a

b		=-1
2a+b		=0

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}f(0)& =-1\\ f(2)& =0\end{array}\to \{\begin{array}{ll}a(0)+b& =-1\\ a(2)+b& =0\end{array}\to \{\begin{array}{ll}b& =-1\\ 2a+b& =0\end{array}}$→a

b		=-1
a		=1/2

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}b& =-1\\ a& =1/2\end{array}}$Logo, f(x)=ax+b→f(x)=1

2x-1${\displaystyle f(x)=ax+b\to f(x)=\frac{1}{2}x-1}$a

g(0)		=3
g(4)		=0

→a

a(0)+b		=3
a(4)+b		=0

→a

b		=3
4a+b		=0

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}g(0)& =3\\ g(4)& =0\end{array}\to \{\begin{array}{ll}a(0)+b& =3\\ a(4)+b& =0\end{array}\to \{\begin{array}{ll}b& =3\\ 4a+b& =0\end{array}}$→a

b		=3
-4a		=3

→a

b		=3
a		=-3/4

${\displaystyle \{\begin{array}{ll}b& =3\\ -4a& =3\end{array}\to \{\begin{array}{ll}b& =3\\ a& =-3/4\end{array}}$Logo, g(x)=-3

4x+3${\displaystyle g(x)=-\frac{3}{4}x+3}$.Como P${\displaystyle P}$ pertence ao gráfico das duas funções, igualamos f${\displaystyle f}$ e g${\displaystyle g}$ para determinar a abscissa de P${\displaystyle P}$af(x)=g(x)→1

2x-1=-3

4x+31

2x+3

4x=3+1→(2

4+3

4)x=45

4x=4→x=16

5${\displaystyle \begin{array}{l}f(x)=g(x)\to \frac{1}{2}x-1=-\frac{3}{4}x+3\\ \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}x=3+1\to (\frac{2}{4}+\frac{3}{4})x=4\\ \frac{5}{4}x=4\to x=\frac{16}{5}\end{array}}$Por fim, substituímos x=16

5${\displaystyle x=\frac{16}{5}}$ em uma das funções, para obter a ordenada de P${\displaystyle P}$.af(x)=1

2x-1→f(16

5)=1

2(16

5)-1f(16

5)=16

10-10

10→f(16

5)=6

10f(16

5)=2(3)

2(5)=3

5${\displaystyle \begin{array}{l}f(x)=\frac{1}{2}x-1\to f\left(\frac{16}{5}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{16}{5}\right)-1\\ f\left(\frac{16}{5}\right)=\frac{16}{10}-\frac{10}{10}\to f\left(\frac{16}{5}\right)=\frac{6}{10}\\ f\left(\frac{16}{5}\right)=\frac{2(3)}{2(5)}=\frac{3}{5}\end{array}}$Portanto, as coordenadas do ponto P${\displaystyle P}$ são (16

5,3

5)${\displaystyle (\frac{16}{5},\frac{3}{5})}$.2) Determine a função afim g(x)=ax+b${\displaystyle g(x)=ax+b}$ cuja representação gráfica é uma reta que passa pelo ponto de coordenadas (1,3) e é paralela ao gráfico de f(x)=2x+3${\displaystyle f(x)=2x+3}$.ResoluçãoComo o gráfico de g${\displaystyle g}$ é paralelo ao de f${\displaystyle f}$, temos que os coeficientes angulares dessas funções são iguais, ou seja, a=2${\displaystyle a=2}$.Como (1,3)${\displaystyle (1,3)}$ pertence ao gráfico de g${\displaystyle g}$, segue que:g(1)=3→2(1)+b=3→b=1${\displaystyle g(1)=3\to 2(1)+b=3\to b=1}$Portanto, g(x)=2x+1${\displaystyle g(x)=2x+1}$.Devemos montar o gráfico do problema mediante o cálculo para dois pontos e depois podemos traçar a reta ligando esses pontos.

a

x	f(x)=2x+3	(x,y)
-1	f(-1)=2(-1)+3=1	A(-1,1)
0	f(0)=2(0)+3=3	B(0,3)
1	f(1)=2(1)+3=5	C(1,5)

a

x	g(x)=2x+1	(x,y)
-1	f(-1)=2(-1)+1=-1	D(-1,-1)
0	f(0)=2(0)+1=1	E(0,1)
1	f(1)=2(1)+1=3	F(1,3)

ABBDEFTaxa de variação média da função linearEm qualquer função f:R→R${\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$, quando damos um acréscimo h${\displaystyle h}$ à variável x${\displaystyle x}$, passando de x${\displaystyle x}$ para x+h${\displaystyle x+h}$, há uma correspondência, um acréscimo f(x+h)-f(x)${\displaystyle f(x+h)-f(x)}$ no valor da função.

f(x+h)f(x)xx+hf(x+h)-f(x)f(x)xDados x${\displaystyle x}$ e x+h${\displaystyle x+h}$, com h≠0${\displaystyle h\ne 0}$ e a função linear f:R→R${\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ definida por f(x)=ax+b${\displaystyle f(x)=ax+b}$, sua taxa de variação média em relação a x${\displaystyle x}$ é dada pelo número:f(x+h)-f(x)

h=a(x+h)+b-(ax+b)

h${\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{a(x+h)+b-(ax+b)}{h}}$ax+ah+b-ax-b

h=ah

h${\displaystyle \frac{ax+ah+b-ax-b}{h}=\frac{ah}{h}}$f(x+h)-f(x)

h=a${\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=a}$Assim, a taxa de variação média, em relação a x${\displaystyle x}$, de uma função linear qualquer , definida por f(x)=ax+b${\displaystyle f(x)=ax+b}$ é a${\displaystyle a}$.Observações1) Como a taxa de variação média de uma função linear é constante, nesse caso podemos dizer apenas taxa de variação.2) A taxa de variação da função linear pode ser interpretada como a variação em f(x)${\displaystyle f(x)}$ causada por cada aumento de uma unidade em x${\displaystyle x}$.3) A taxa da variação da função linear pode ser obtida conhecendo-se dois dos seus valores f(x1)${\displaystyle f(x_1)}$ e f(x2):a=f(x2)-f(x1)

x2-x1${\displaystyle f(x_2):a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}$, para x2≠x1${\displaystyle x_2\ne x_1}$.PropriedadeUma função linear é crescente (x1<x2→f(x1<f(x2)${\displaystyle (x_1<x_2\to f(x_1<f(x_2)}$ quando sua taxa de variação a${\displaystyle a}$ positiva, decrescente (x1<x2→f(x1)>f(x2))${\displaystyle (x_1<x_2\to f(x_1)>f(x_2))}$ quando a taxa de variação a${\displaystyle a}$ é negativa e constante quando a=0${\displaystyle a=0}$.Determinação de uma função linear usando taxa de variação médiaPor exemplo, acompanhe duas maneiras de determinar uma função linear, sabendo que f(2)=-2${\displaystyle f(2)=-2}$ e f(1)=1${\displaystyle f(1)=1}$.Para determinar a função linear, vamos obter a taxa de variação a${\displaystyle a}$ e o valor inicial b${\displaystyle b}$.Sabemos que a=f(2)-f(1)

2-1=-2-1

2-1=-3

1=-3${\displaystyle a=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{-2-1}{2-1}=\frac{-3}{1}=-3}$Assim, f(x)=-3x+b${\displaystyle f(x)=-3x+b}$.Para obter o valor de b${\displaystyle b}$, escolhemos um dos valores conhecidos, por exemplo, f(1)=1${\displaystyle f(1)=1}$. Substituindo-se x${\displaystyle x}$ por 1, temos:f(x)=-3x+b${\displaystyle f(x)=-3x+b}$1=-3(1)+b${\displaystyle 1=-3(1)+b}$1+3=b${\displaystyle 1+3=b}$b=4${\displaystyle b=4}$Portanto, f(x)=-3x+4${\displaystyle f(x)=-3x+4}$.ExemplosCalcule a taxa de variação da função cujo gráfico é uma reta que passa pelos pontos A(1,3)${\displaystyle A(1,3)}$ e B(5,6)${\displaystyle B(5,6)}$. Verifique se a função afim cujo gráfico é essa reta crescente ou decrescente.SoluçãoDevemos determinar o valor do coeficiente angular calculando-o por meio da taxa da variação média da função, tal como segue:a=f(xB)-f(xA)

xB-xA${\displaystyle a=\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}}$Em B${\displaystyle B}$, xB=5${\displaystyle x_B=5}$ e f(xB)=6${\displaystyle f(x_B)=6}$.Em A${\displaystyle A}$, xA=1${\displaystyle x_A=1}$ e f(xA)=3${\displaystyle f(x_A)=3}$.Devemos substituir os dados acima na equação da tava da variação média da função afim, assim:a=f(xB)-f(xA)

xB-xA=6-3

5-1=3

4${\displaystyle a=\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}=\frac{6-3}{5-1}=\frac{3}{4}}$Como a>0${\displaystyle a>0}$, a função é crescente.A partir do coeficiente angular e do ponto A ou B podemos determinar o coeficiente linear. Vejamos:A função afim f(x)=ax+b${\displaystyle f(x)=ax+b}$ é escrita, por enquanto, como f(x)=3

4x+b${\displaystyle f(x)=\frac{3}{4}x+b}$.Entretanto, A(1,5)${\displaystyle A(1,5)}$, nos mostra que f(1)=5${\displaystyle f(1)=5}$. Assim, 5=3

4(1)+b→b=5-3

4→b=3·4

4-3

4→b=12-3

4→b=9

4${\displaystyle 5=\frac{3}{4}(1)+b\to b=5-\frac{3}{4}\to b=3·\frac{4}{4}-\frac{3}{4}\to b=\frac{12-3}{4}\to b=\frac{9}{4}}$Por fim, temos que f(x)=ax+b→f(x)=3

4(x+3)${\displaystyle f(x)=ax+b\to f(x)=\frac{3}{4}(x+3)}$.

yxf(x)=3

4(x+3)ABAtividades1) Construa em um sistema de coordenadas de eixos ortogonais, o gráfico das seguintes funções:a) f(x)=2x+3${\displaystyle f(x)=2x+3}$b) f(x)=x+3${\displaystyle f(x)=x+3}$c) f(x)=-2x+5${\displaystyle f(x)=-2x+5}$d) f(x)=-2-2x${\displaystyle f(x)=-2-2x}$ Soluçãoa)

a

x	f(x)=2x+3	(x,y)
-2	f(-2)=2(-2)+3=-1	A(-2,-1)
-1	f(-1)=2(-1)+3=1	B(-1,1)
0	f(0)=2(0)+3=3	C(0,3)
1	f(1)=2(1)+3=5	D(1,5)
2	f(2)=2(2)+3=7	E(2,7)

ABCDEf(x)=2x+3 b)

ABCDEf(x)=x+3a

x	f(x)=x+3	(x,y)
-2	f(-2)=-2+3=1	A(-2,1)
-1	f(-1)=-1+3=2	B(-1,2)
0	f(0)=0+3=3	C(0,3)
1	f(1)=1+3=4	D(1,4)
2	f(2)=2+3=5	E(2,5)

c)

ABCDEf(x)=-2x+5a

x	f(x)=-2x+5	(x,y)
-2	f(-2)=-2(-2)+5=9	A(-2,9)
-1	f(-1)=-2(-1)+5=7	B(-1,7)
0	f(0)=-2(0)+5=5	C(0,5)
1	f(1)=-2(1)+5=3	D(1,3)
2	f(2)=-2(2)+5=1	E(2,1)

d)

ABCDEf(x)=-2x+5a

x	f(x)=-2-2x	(x,y)
-2	f(-2)=-2-2(-2)=2	A(-2,2)
-1	f(-1)=-2-2(-1)=0	B(-1,0)
0	f(0)=-2-2(0)=-2	C(0,-2)
1	f(1)=-2-2(1)=-4	D(1,-4)
2	f(2)=-2-2(2)=-6	E(2,-6)

2) Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com a fórmula matemática s=2t-3${\displaystyle s=2t-3}$, em que s${\displaystyle s}$ indica a posição do corpo (em metros) no instante t${\displaystyle t}$ (em segundos). Construa o gráfico de s${\displaystyle s}$ em função de t${\displaystyle t}$.

ABCDEs(t)=2t-3a

t	s(t)=2t-3	(t,s(t))
-2	s(0)=2-2(0)=-3	A(0,-3)
-1	s(1)=2-2(1)=-1	B(1,-1)
0	s(2)=2-2(2)=1	C(2,1)
1	s(3)=2-2(3)=3	D(3,3)
2	s(4)=2-2(4)=5	E(4,5)

3) Obtenha, em cada caso, a função f(x)=ax+b${\displaystyle f(x)=ax+b}$ cuja reta, que é seu gráfico, passa pelos pontos:a) (-1,1)${\displaystyle (-1,1)}$ e (2,0)${\displaystyle (2,0)}$a) (3,0)${\displaystyle (3,0)}$ e (0,4)${\displaystyle (0,4)}$Soluçãoa)Calculando a taxa de variação média, adotando f(2)=0, f(-1)=1${\displaystyle f(2)=0,f(-1)=1}$ a=f(2)-f(-1)

2-(-1)${\displaystyle a=\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}}$a=0-1

2+1=-1

3${\displaystyle a=\frac{0-1}{2+1}=-\frac{1}{3}}$Como f(-1)=1→1=-1

3(-1)+b→b=3

3-1

3→b=2

3${\displaystyle f(-1)=1\to 1=-\frac{1}{3}(-1)+b\to b=\frac{3}{3}-\frac{1}{3}\to b=\frac{2}{3}}$Logo, f(x)=ax+b→f(x)=1

3(-x+2)${\displaystyle f(x)=ax+b\to f(x)=\frac{1}{3}(-x+2)}$

A(2,0)B(-1,1)f(x)=1

3(-x+2)b)Calculando a taxa de variação média, adotando f(0)=4, f(3)=0${\displaystyle f(0)=4,f(3)=0}$ a=f(3)-f(0)

3-0${\displaystyle a=\frac{f(3)-f(0)}{3-0}}$a=0-4

3=-4

3${\displaystyle a=\frac{0-4}{3}=-\frac{4}{3}}$Como f(0)=4→4=-4

3(0)+b→b=4${\displaystyle f(0)=4\to 4=-\frac{4}{3}(0)+b\to b=4}$Logo, f(x)=ax+b→f(x)=-4

3x+4${\displaystyle f(x)=ax+b\to f(x)=-\frac{4}{3}x+4}$

A(3,0)B(0,4)f(x)=-4

3x+4 BibliografiaBARON, M.M Curso de história da Matemática: origens e desenvolvimento do cálculo. Brasília, Universidade de Brasília, 1985.BARRETO FILHO, Beningno; SILVA, Cláudio Xavier. Matemática Aula por Aula. FTD. São Paulo. 2004BOYER, C.D. História da Matemática. São Paulo, Edgard Blücher, 1971.DANTE, L.R. Matemática - Contextos & Aplicações. Editora Ática. São Paulo, 2014.