Limites e derivadas

aGilson Würz. Math LimitesAlgumas regras sobre limites:❏ Se a função é contínua no ponto considerado, o limite da função é obtido diretamente;❏ Se o numerador e o denominador tendem a 0, teremos uma fração do tipo 0/0${\displaystyle 0/0}$, então devemos fatorar e simplificar, ou então racionalizar a expressão;❏ Se a função é polinominal e x${\displaystyle x}$ tende a +∞${\displaystyle +\infty }$ ou -∞${\displaystyle -\infty }$, colocamos a maior potência de x${\displaystyle x}$ em evidência;❏ Se o numerador se aproxima de um número real e o denominador tende a 0, teremos uma fração do tipo teremos uma fração do tipo n/0${\displaystyle n/0}$, a fração cresce ou decresce infinitamente, e o limite será +∞${\displaystyle +\infty }$ ou -∞.${\displaystyle -\infty .}$❏ Se o numerador e o denominador tendem a +∞${\displaystyle +\infty }$ ou -∞${\displaystyle -\infty }$, dividiremos o numerador e o denominador pela maior potência de x${\displaystyle x}$ e faremos a substituição. Propriedades dos limitesSe o limite existe nos pontos de ambos os lados de f(x)${\displaystyle f(x)}$ e g(x)${\displaystyle g(x)}$, é possível provar que:1) Limite da soma: Para uma soma de funções podemos aplicar separadamente o limite em cada função e ao final somar os resultados encontrados em cada limites e simplificá-los o máximo possível.limx→a[f(x)+g(x)]=limx→af(x)+limx→ag(x)${\displaystyle \underset{x\to a}{\overset{}{lim}}[f(x)+g(x)]=\underset{x\to a}{\overset{}{lim}}f(x)+\underset{x\to a}{\overset{}{lim}}g(x)}$2) Limite do coeficiente: O limite de uma função que possua um coeficiente constante c${\displaystyle c}$, com c∈R${\displaystyle c\in \mathbb{R}}$* deverá resultar no limite da função e após os resultado encontrado realizar a multiplicação pela constante em evidência.limx→a[a·f(x)+b·g(x)]=a·limx→af(x)+b·limx→ag(x)${\displaystyle \underset{x\to a}{\overset{}{lim}}[a·f(x)+b·g(x)]=a·\underset{x\to a}{\overset{}{lim}}f(x)+b·\underset{x\to a}{\overset{}{lim}}g(x)}$3) Limite da multiplicação entre funções: O limite da multiplicação de duas ou mais funções é equivalente a aplicar o limite em cada função e em seguida realizar a multiplicação entre as funções encontradas.limx→a[a·f(x)·g(x)]=a·limx→af(x)·limx→ag(x)${\displaystyle \underset{x\to a}{\overset{}{lim}}[a·f(x)·g(x)]=a·\underset{x\to a}{\overset{}{lim}}f(x)·\underset{x\to a}{\overset{}{lim}}g(x)}$4) Limite do quociente: O limite do quociente consiste em aplicar o limite simultaneamente ao numerador e ao denominador.limx→a[f(x)

g(x)]=limx→af(x)

limx→ag(x)${\displaystyle \underset{x\to a}{\overset{}{lim}}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\underset{x\to a}{\overset{}{lim}}f(x)}{\underset{x\to a}{\overset{}{lim}}g(x)}}$, se limx→ag(x)≠0${\displaystyle \underset{x\to a}{\overset{}{lim}}g(x)\ne 0}$ ${\displaystyle }$ 5) Limite do expoente: Esta regra consiste em tomar o limite da função e sem seguida aplicar o expoente no resultado encontrado.limx→a[f(x)]n=[limx→af(x)]n${\displaystyle \underset{x\to a}{\overset{}{lim}}[f(x){]}^n=[\underset{x\to a}{\overset{}{lim}}f(x){]}^n}$ Limites básicosA noção de limite de uma função poderá ser melhor compreendida nos exemplos abaixo em que empregaremos por diversas vezes as propriedades listadas na seção anterior, Propriedades dos limites".Veja os exemplos abaixo:ExemplosCalcule os limites abaixo:1. limx→1(x20-2x10-1)${\displaystyle \underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}(x^{20}-2x^{10}-1)}$1. Resposta1. Usando a propriedade do limite da soma, temos:1. limx→1(x20-2x10-1)=limx→1x20-2·limx→1x10-1${\displaystyle \underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}(x^{20}-2x^{10}-1)=\underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}{x}^{20}-2·\underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}{x}^{10}-1}$1. limx→1(x20-2x10-1)=120-2·110-1)${\displaystyle \underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}(x^{20}-2x^{10}-1)=1^{20}-2·1^{10}-1)}$1. limx→1(x20-2x10-1)=1-2-1${\displaystyle \underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}(x^{20}-2x^{10}-1)=1-2-1}$1. limx→1(x20-2x10-1)=-2${\displaystyle \underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}(x^{20}-2x^{10}-1)=-2}$

f(x)=x20-2x10-1(1,-2)2) limx→3(5x2+2x-1)${\displaystyle \underset{x\to 3}{\overset{}{lim}}(5x^2+2x-1)}$Solução: Usando a propriedade do limite da soma, realizando a substituição do valor no ponto em cada limite segue que:limx→3(5x2+2x-1)=5limx→3x2+2limx→3x-1${\displaystyle \underset{x\to 3}{\overset{}{lim}}(5x^2+2x-1)=5\underset{x\to 3}{\overset{}{lim}}{x}^2+2\underset{x\to 3}{\overset{}{lim}}x-1}$limx→3(5x2+2x-1)=5·(3)2+2·(3)-1${\displaystyle \underset{x\to 3}{\overset{}{lim}}(5x^2+2x-1)=5·(3{)}^2+2·(3)-1}$limx→3(5x2+2x-1)=45+6-1${\displaystyle \underset{x\to 3}{\overset{}{lim}}(5x^2+2x-1)=45+6-1}$limx→3(5x2+2x-1)=50${\displaystyle \underset{x\to 3}{\overset{}{lim}}(5x^2+2x-1)=50}$

f(x)=5x2+2x-1(3,50)3) limx→-1(x3+2)2${\displaystyle \underset{x\to -1}{\overset{}{lim}}(x^3+2{)}^2}$Solução: Usando a propriedade do limite da soma dentro do parênteses, substituindo no ponto e ao final elevando ao quadrado a soma, temos:limx→-1(x3+2)2=(limx→-1x3+2)2${\displaystyle \underset{x\to -1}{\overset{}{lim}}(x^3+2{)}^2=(\underset{x\to -1}{\overset{}{lim}}{x}^3+2{)}^2}$limx→-1(x3+2)2=(1+2)2${\displaystyle \underset{x\to -1}{\overset{}{lim}}(x^3+2{)}^2=(1+2{)}^2}$limx→-1(x3+2)2=9${\displaystyle \underset{x\to -1}{\overset{}{lim}}(x^3+2{)}^2=9}$

f(x)=(x3+2)2(-1,9)4) ${\displaystyle }$limx→2(x3-12)5${\displaystyle \underset{x\to 2}{\overset{}{lim}}(x^3-12{)}^5}$Solução: Usando a propriedade do limite da soma dentro do parênteses, substituindo no ponto e ao final elevando ao quadrado a soma, temos: ${\displaystyle }$limx→2(x3-12)5= (limx→2x3-12)5${\displaystyle \underset{x\to 2}{\overset{}{lim}}(x^3-12{)}^5=(\underset{x\to 2}{\overset{}{lim}}{x}^3-12{)}^5}$ ${\displaystyle }$limx→2(x3-12)5= [(2)3-12]5${\displaystyle \underset{x\to 2}{\overset{}{lim}}(x^3-12{)}^5=[(2{)}^3-12{]}^5}$ ${\displaystyle }$limx→2(x3-12)5= [8-12]5${\displaystyle \underset{x\to 2}{\overset{}{lim}}(x^3-12{)}^5=[8-12{]}^5}$ ${\displaystyle }$limx→2(x3-12)5= (-4)5${\displaystyle \underset{x\to 2}{\overset{}{lim}}(x^3-12{)}^5=(-4{)}^5}$ ${\displaystyle }$limx→2(x3-12)5= -1024${\displaystyle \underset{x\to 2}{\overset{}{lim}}(x^3-12{)}^5=-1024}$

f(x)=(x3-12)5(2,-1024)5) limx→1/2(x-1)(x+4)${\displaystyle \underset{x\to 1/2}{\overset{}{lim}}(x-1)(x+4)}$Solução: Usando a propriedade do limite de produto de funções: limx→1/2(x-1)(x+4)=(limx→1/2x-1)(limx→1/2x+4)${\displaystyle \underset{x\to 1/2}{\overset{}{lim}}(x-1)(x+4)=(\underset{x\to 1/2}{\overset{}{lim}}x-1)(\underset{x\to 1/2}{\overset{}{lim}}x+4)}$ limx→1/2(x-1)(x+4)=(1

2-1)(1

2+4)${\displaystyle \underset{x\to 1/2}{\overset{}{lim}}(x-1)(x+4)=(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}+4)}$ limx→1/2(x-1)(x+4)=(1

2-2

2)(1

2+8

2)${\displaystyle \underset{x\to 1/2}{\overset{}{lim}}(x-1)(x+4)=(\frac{1}{2}-\frac{2}{2})(\frac{1}{2}+\frac{8}{2})}$ limx→1/2(x-1)(x+4)=(-1

2)(9

2)${\displaystyle \underset{x\to 1/2}{\overset{}{lim}}(x-1)(x+4)=(-\frac{1}{2})\left(\frac{9}{2}\right)}$ limx→1/2(x-1)(x+4)=-9

4${\displaystyle \underset{x\to 1/2}{\overset{}{lim}}(x-1)(x+4)=-\frac{9}{4}}$

f(x)=(x-1)(x+4)(1

2,-9

4)6) limx→4x2-x-12

x-4${\displaystyle \underset{x\to 4}{\overset{}{lim}}\frac{x^2-x-12}{x-4}}$ Solução: Fazendo a fatoração da fração entre polinômios chegamos em: limx→4x2-x-12

x-4=limx→4(x-4)(x+3)

(x-4)${\displaystyle \underset{x\to 4}{\overset{}{lim}}\frac{x^2-x-12}{x-4}=\underset{x\to 4}{\overset{}{lim}}\frac{(x-4)(x+3)}{(x-4)}}$ limx→4x2-x-12

x-4=limx→4(x+3)${\displaystyle \underset{x\to 4}{\overset{}{lim}}\frac{x^2-x-12}{x-4}=\underset{x\to 4}{\overset{}{lim}}(x+3)}$ limx→4x2-x-12

x-4=7${\displaystyle \underset{x\to 4}{\overset{}{lim}}\frac{x^2-x-12}{x-4}=7}$

f(x)=x2-x-12

x-4(4,7)7) limx→2x2+3x-10

x-2${\displaystyle \underset{x\to 2}{\overset{}{lim}}\frac{x^2+3x-10}{x-2}}$ Solução: Fazendo a fatoração da fração entre polinômios chegamos em: limx→2x2+3x-10

x-2=limx→2(x-2)(x+5)

(x-2)${\displaystyle \underset{x\to 2}{\overset{}{lim}}\frac{x^2+3x-10}{x-2}=\underset{x\to 2}{\overset{}{lim}}\frac{(x-2)(x+5)}{(x-2)}}$ limx→2x2+3x-10

x-2=limx→2(x+5)${\displaystyle \underset{x\to 2}{\overset{}{lim}}\frac{x^2+3x-10}{x-2}=\underset{x\to 2}{\overset{}{lim}}(x+5)}$ limx→2x2+3x-10

x-2=7${\displaystyle \underset{x\to 2}{\overset{}{lim}}\frac{x^2+3x-10}{x-2}=7}$

f(x)=x2+3x-10

x-2(2,7)8) limx→3(u4+2u3-4u)${\displaystyle \underset{x\to \sqrt{3}}{\overset{}{lim}}(u^4+2u^3-4u)}$ Solução: Usando a propriedade da soma chegamos em:limu→3(u4+2u3-4u)=limx→3u4+2limx→3u3-4limx→3u${\displaystyle \underset{u\to \sqrt{3}}{\overset{}{lim}}(u^4+2u^3-4u)=\underset{x\to \sqrt{3}}{\overset{}{lim}}{u}^4+2\underset{x\to \sqrt{3}}{\overset{}{lim}}{u}^3-4\underset{x\to \sqrt{3}}{\overset{}{lim}}u}$limu→3(u4+2u3-4u)=(3)4+2(3)3-43${\displaystyle \underset{u\to \sqrt{3}}{\overset{}{lim}}(u^4+2u^3-4u)=(\sqrt{3}{)}^4+2(\sqrt{3}{)}^3-4\sqrt{3}}$limu→3(u4+2u3-4u)=(3)2(3)2+2(3)2(3)1-43${\displaystyle \underset{u\to \sqrt{3}}{\overset{}{lim}}(u^4+2u^3-4u)=\left(\sqrt{3}{)}^2\right(\sqrt{3}{)}^2+2\left(\sqrt{3}{)}^2\right(\sqrt{3}{)}^1-4\sqrt{3}}$limu→3(u4+2u3-4u)=9+2·3·3-43${\displaystyle \underset{u\to \sqrt{3}}{\overset{}{lim}}(u^4+2u^3-4u)=9+2·3·\sqrt{3}-4\sqrt{3}}$limu→3(u4+2u3-4u)=9+6·3-43${\displaystyle \underset{u\to \sqrt{3}}{\overset{}{lim}}(u^4+2u^3-4u)=9+6·\sqrt{3}-4\sqrt{3}}$limu→3(u4+2u3-4u)=9+2·3${\displaystyle \underset{u\to \sqrt{3}}{\overset{}{lim}}(u^4+2u^3-4u)=9+2·\sqrt{3}}$

f(u)=u4+2u3-4u(3,9+23)9) limx→1x4-1

x-1${\displaystyle \underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}\frac{x^4-1}{x-1}}$ Solução:limx→1x4-1

x-1=limx→1(x-1)(x3+x2+x+1)

(x-1)${\displaystyle \underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}\frac{x^4-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}\frac{(x-1)(x^3+x^2+x+1)}{(x-1)}}$limx→1x4-1

x-1=limx→1(x3+x2+x+1)${\displaystyle \underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}\frac{x^4-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}(x^3+x^2+x+1)}$limx→1x4-1

x-1=limx→1x3+limx→1x2+limx→1x+1${\displaystyle \underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}\frac{x^4-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}{x}^3+\underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}{x}^2+\underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}x+1}$limx→1x4-1

x-1=13+12+1+1${\displaystyle \underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}\frac{x^4-1}{x-1}=1^3+1^2+1+1}$limx→1x4-1

x-1=4${\displaystyle \underset{x\to 1}{\overset{}{lim}}\frac{x^4-1}{x-1}=4}$

f(x)=x4-1

x-1(1,4)10) limx→0(4x-1)50${\displaystyle \underset{x\to 0}{\overset{}{lim}}(4x-1{)}^{50}}$ Solução: limx→0(4x-1)50=(4limx→0x-1)50${\displaystyle \underset{x\to 0}{\overset{}{lim}}(4x-1{)}^{50}=(4\underset{x\to 0}{\overset{}{lim}}x-1{)}^{50}}$ limx→0(4x-1)50=(4·0-1)50${\displaystyle \underset{x\to 0}{\overset{}{lim}}(4x-1{)}^{50}=(4·0-1{)}^{50}}$ limx→0(4x-1)50=(-1)50${\displaystyle \underset{x\to 0}{\overset{}{lim}}(4x-1{)}^{50}=(-1{)}^{50}}$ limx→0(4x-1)50=1${\displaystyle \underset{x\to 0}{\overset{}{lim}}(4x-1{)}^{50}=1}$

f(x)=(4x-1)50(0,1)11) limx→0(x+2)2-4

x${\displaystyle \underset{x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{(x+2{)}^2-4}{x}}$ Solução: Expandindo o binômio:limx→0(x+2)2-4

x=limx→0x2+4x+4-4

x${\displaystyle \underset{x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{(x+2{)}^2-4}{x}=\underset{x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{x^2+4x+4-4}{x}}$limx→0(x+2)2-4

x=limx→0x2+4x

x${\displaystyle \underset{x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{(x+2{)}^2-4}{x}=\underset{x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{x^2+4x}{x}}$limx→0(x+2)2-4

x=limx→0(x+4)${\displaystyle \underset{x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{(x+2{)}^2-4}{x}=\underset{x\to 0}{\overset{}{lim}}(x+4)}$limx→0(x+2)2-4

x=4${\displaystyle \underset{x\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{(x+2{)}^2-4}{x}=4}$

f(x)=(x+2)2-4

x(0,4) Derivadas Regras de derivação Se f${\displaystyle f}$ e g${\displaystyle g}$ são funções deriváveis, então valem as seguintes propriedades:■ d

dx[f(x)±g(x)]=d

dxf(x)±d

dxg(x)${\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)]=\frac{d}{dx}f(x)\pm \frac{d}{dx}g(x)}$■ d

dx[f(x)g(x)]=g(x)d

dxf(x)+f(x)d

dxg(x)${\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=g(x)\frac{d}{dx}f(x)+f(x)\frac{d}{dx}g(x)}$■ d

dx[f(x)

g(x)]=g(x)d

dxf(x)-f(x)d

dxg(x)

[g(x)]2${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{g(x)\frac{d}{dx}f(x)-f(x)\frac{d}{dx}g(x)}{[g(x){]}^2}}$, se g(x)≠0${\displaystyle g(x)\ne 0}$. Notação alternativaSe f${\displaystyle f}$ e g${\displaystyle g}$ são funções deriváveis, então vale as seguintes propriedades:■ (f±g)'=f'±g'${\displaystyle (f\pm g)\text{'}=f\text{'}\pm g\text{'}}$■ (f·g)'=f'g+fg'${\displaystyle (f·g)\text{'}=f\text{'}g+fg\text{'}}$■ (f

g)'=f'g-fg'

g2${\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)\text{'}=\frac{f\text{'}g-fg\text{'}}{g^2}}$, nos pontos em que g(x)≠0${\displaystyle g(x)\ne 0}$.Demonstração do primeiro itemPela definição de derivada e lembrando que o limite da soma é a soma dos limites, temos:a

d dx[f(x)+g(x)]	=	limh→0(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x)) h
d dx[f(x)+g(x)]	=	limh→0(f(x+h)-f(x) h+g(x+h)-g(x) h)
d dx[f(x)+g(x)]	=	d dxf(x)+d dxg(x)

${\displaystyle \begin{array}{ccl}\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]& =& \underset{h\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))}{h}\\ \frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]& =& \underset{h\to 0}{\overset{}{lim}}(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h})\\ \frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]& =& \frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)\end{array}}$ Demonstração do terceiro itemPela definição de derivada, temosa

d dx[f(x)g(x)]	=	limh→0f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) h

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]& =& \underset{h\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ & & \end{array}}$Subtraindo e somando g(x)f(x+h)${\displaystyle g(x)f(x+h)}$ no numerador, encontramosd

dx[f(x)g(x)]=limh→0(f(x+h)g(x+h)-g(x)

h+g(x)f(x+h)-f(x)

h)${\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=\underset{h\to 0}{\overset{}{lim}}(f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h})}$d

dx[f(x)g(x)]=limh→0f(x+h)g(x+h)-g(x)

h+limh→0g(x)f(x+h)-f(x)

h${\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=\underset{h\to 0}{\overset{}{lim}}f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+\underset{h\to 0}{\overset{}{lim}}g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$d

dx[f(x)g(x)]=limh→0f(x+h)limh→0g(x+h)-g(x)

h+limh→0g(x)limh→0f(x+h)-f(x)

h${\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=\underset{h\to 0}{\overset{}{lim}}f(x+h)\underset{h\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+\underset{h\to 0}{\overset{}{lim}}g(x)\underset{h\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$d

dx[f(x)g(x)]=f(x)d

dxg(x)+g(x)d

dxf(x)${\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)\frac{d}{dx}g(x)+g(x)\frac{d}{dx}f(x)}$Na última equação, utilizamos o fato de f${\displaystyle f}$ ser contínua em x${\displaystyle x}$ Derivadas elementares d

dxc=0${\displaystyle \frac{d}{dx}c=0}$, com c∈R${\displaystyle c\in \mathbb{R}}$ d

dxf(x)=1${\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)=1}$, com f(x)=x${\displaystyle f(x)=x}$ Considerando uma função constante g(x)=c${\displaystyle g(x)=c}$ na regra do produto, obtemos a propriedade: Multiplicação por escalarPara qualquer constante c∈R${\displaystyle c\in \mathbb{R}}$, tem-sed

dx[cf(x)]=c·d

dxf(x)${\displaystyle \frac{d}{dx}[cf(x)]=c·\frac{d}{dx}f(x)}$ Teorema 1 (Derivada da função polinomial)A derivada de um polinômio de grau n${\displaystyle n}$ é:d

dx[a0+a1x+a2x2+⋯+anxn]=a1+2a2x+⋯+nanxn-1${\displaystyle \frac{d}{dx}[a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n]=a_1+2a_{2}x+\cdots +n{a}_n{x}^{n-1}}$Teorema 2 (Derivada da n-ésima raíz)d

dx[x1/n]=1

nx(1/n)-1${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^{1/n}\right]=\frac{1}{n}{x}^{(1/n)-1}}$, ∀x>0${\displaystyle \forall x>0}$.Combinando a derivada da n-ésima raíz com os resultados anteriores e usando a continuidade do expoente, temos:Teorema 3 (Derivada da potência)Para qualquer número real 𝛼${\displaystyle 𝛼}$, tem-sed

dx[x𝛼]=𝛼x𝛼-1${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^{𝛼}\right]=𝛼x^{𝛼-1}}$Demonstração do teorema 2Pela definição da derivada, temos:d

dx[x1/n]=limy→xy1/n-x1/n

y-x${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^{1/n}\right]=\underset{y\to x}{\overset{}{lim}}\frac{y^{1/n}-x^{1/n}}{y-x}}$Tomando u=x1/n${\displaystyle u=x^{1/n}}$ e v=y1/n${\displaystyle v=y^{1/n}}$ e lembrando quevn-un=(v-u)(vn-1+vn-2u+⋯+vun-2+un-1)${\displaystyle v^n-u^n=(v-u)(v^{n-1}+v^{n-2}u+\cdots +v{u}^{n-2}+u^{n-1})}$encontramosd

dx[x1/n]=limv→uv-u

vn-un${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^{1/n}\right]=\underset{v\to u}{\overset{}{lim}}\frac{v-u}{v^n-u^n}}$d

dx[x1/n]=limv→u(v-u)

(v-u)(vn-1+vn-2u+⋯+vun-2+un-1)${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^{1/n}\right]=\underset{v\to u}{\overset{}{lim}}\frac{(v-u)}{(v-u)(v^{n-1}+v^{n-2}u+\cdots +v{u}^{n-2}+u^{n-1})}}$d

dx[x1/n]=limv→u(v-u)

(v-u)(vn-1+vn-2u+⋯+vun-2+un-1)${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^{1/n}\right]=\underset{v\to u}{\overset{}{lim}}\frac{\cancel{(v-u)}}{\cancel{(v-u)}(v^{n-1}+v^{n-2}u+\cdots +v{u}^{n-2}+u^{n-1})}}$d

dx[x1/n]=limv→u1

un-1+un-2·u+⋯+u·un-2+un-1${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^{1/n}\right]=\underset{v\to u}{\overset{}{lim}}\frac{1}{u^{n-1}+u^{n-2}·u+\cdots +u·u^{n-2}+u^{n-1}}}$d

dx[x1/n]=1

nun-1${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^{1/n}\right]=\frac{1}{n{u}^{n-1}}}$d

dx[x1/n]=1

nx1-1/n${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^{1/n}\right]=\frac{1}{n{x}^{1-1/n}}}$d

dx[x1/n]=1

nx1/n-1${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^{1/n}\right]=\frac{1}{n}{x}^{1/n-1}}$Teorema 4 (Derivada da função exponencial)A derivada da função exponencial f(x)=ax${\displaystyle f(x)=a^x}$, para a>0${\displaystyle a>0}$, é:d

dx[f(x)]=f'(0)ax=f'(0)f(x)${\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)]=f\text{'}(0)a^x=f\text{'}(0)f(x)}$Demonstraçãod

dx[f(x)]=limh→0ax+h-ax

h${\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)]=\underset{h\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}}$d

dx[f(x)]=limh→0ax(ah-1

h)${\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)]=\underset{h\to 0}{\overset{}{lim}}{a}^x\left(\frac{a^h-1}{h}\right)}$d

dx[f(x)]=limh→0ax(ah-1

h)${\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)]=\underset{h\to 0}{\overset{}{lim}}{a}^x\left(\frac{a^h-1}{h}\right)}$d

dx[f(x)]=axlimh→0(ah-1

h)${\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)]=a^x\underset{h\to 0}{\overset{}{lim}}\left(\frac{a^h-1}{h}\right)}$d

dx[f(x)]=axf'(0)${\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)]=a^{x}f\text{'}(0)}$Função exponencial naturalDefinição 5 (Número e)O número e${\displaystyle e}$ é tal quelimh→0eh-1

h=1${\displaystyle \underset{h\to 0}{\overset{}{lim}}\frac{e^h-1}{h}=1}$Teorema 6 (Derivada da função exponencial)d

dxex=ex${\displaystyle \frac{d}{dx}{e}^x=e^x}$Exemplo:Encontre a n-ésima derivada de f(x)=xex${\displaystyle f(x)=x{e}^x}$.Resposta:y=xex${\displaystyle y=x{e}^x}$dy

dx=(d

dxx)ex+x(d

dxex)=ex+xex=(1+x)ex →dy

dx=(1+x)ex${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\left(\frac{d}{dx}x\right)e^x+x\left(\frac{d}{dx}{e}^x\right)=e^x+x{e}^x=(1+x)e^x\to \frac{dy}{dx}=(1+x)e^x}$ d2y

dx2=(d

dx(1+x))ex+(1+x)(d

dxex)=ex+(1+x)ex→d2y

dx2=(2+x)ex${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=(\frac{d}{dx}(1+x))e^x+(1+x)\left(\frac{d}{dx}{e}^x\right)=e^x+(1+x)e^x\to \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=(2+x)e^x}$ d3y

dx2=(d

dx(2+x))ex+(2+x)(d

dxex)=ex+(2+x)ex→d3y

dx3=(3+x)ex${\displaystyle \frac{d^{3}y}{d{x}^2}=(\frac{d}{dx}(2+x))e^x+(2+x)\left(\frac{d}{dx}{e}^x\right)=e^x+(2+x)e^x\to \frac{d^{3}y}{d{x}^3}=(3+x)e^x}$⋮${\displaystyle ⋮}$adny

dxn=[d

dx(n-1+x)]·ex+(n-1+x)d

dxex=ex+(n-1+x)exdny

dxn=(1+n-1+x)exdny

dxn=(n+x)ex${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{n}y}{d{x}^n}=[\frac{d}{dx}(n-1+x)]·e^x+(n-1+x)\frac{d}{dx}{e}^x=e^x+(n-1+x)e^x\\ \frac{d^{n}y}{d{x}^n}=(1+n-1+x)e^x\\ \frac{d^{n}y}{d{x}^n}=(n+x)e^x\end{array}}$ Questão - Derive a função f(t)=t(a+bt)${\displaystyle f(t)=\sqrt{t}(a+bt)}$Resposta:y=f(t)${\displaystyle y=f(t)}$ady

dt=[d

dt(t)]·(a+bt)+(t)[d

dt(a+bt)]dy

dt=(a+bt)

2t+t(b)=(a+bt)

2t+t(b)·2t

2t=a+bt+2bt·t

2t=a+bt+2bt

2tdy

dt=a+3bt

2t${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dy}{dt}=\left[\frac{d}{dt}\right(\sqrt{t}\left)\right]·(a+bt)+\left(\sqrt{t}\right)[\frac{d}{dt}(a+bt)]\\ \frac{dy}{dt}=\frac{(a+bt)}{2\sqrt{t}}+\sqrt{t}(b)=\frac{(a+bt)}{2\sqrt{t}}+\sqrt{t}(b)·\frac{2\sqrt{t}}{2\sqrt{t}}=\frac{a+bt+2b\sqrt{t}·\sqrt{t}}{2\sqrt{t}}=\frac{a+bt+2bt}{2\sqrt{t}}\\ \frac{dy}{dt}=\frac{a+3bt}{2\sqrt{t}}\end{array}}$ Questão - Encontre a derivada de y=x2+x-2

x3+6${\displaystyle y=\frac{x^2+x-2}{x^3+6}}$Resposta: y=u

v=x2+x-2

x3+6→u=x2+x-2, v=x3+6${\displaystyle y=\frac{u}{v}=\frac{x^2+x-2}{x^3+6}\to u=x^2+x-2,v=x^3+6}$dy

dx=u'v-uv'

v2=[d

dx(x2+x-2)]·(x3+6)-(x2+x-2)[d

dx(x3+6)]

(x3+6)2${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{u\text{'}v-uv\text{'}}{v^2}=\frac{\left[\frac{d}{dx}\right(x^2+x-2\left)\right]·(x^3+6)-(x^2+x-2)\left[\frac{d}{dx}\right(x^3+6\left)\right]}{(x^3+6{)}^2}}$dy

dx=(2x+1)·(x3+6)-(x2+x-2)(3x2)

(x3+6)2${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{(2x+1)·(x^3+6)-(x^2+x-2)\left(3x^2\right)}{(x^3+6{)}^2}}$

+2x·a

x3		=		+2x4
6		=		+12x

+1·a

x3		=		+1x3
6		=		+6

-3x2·a

+x2		=		-3x4
+x		=		-3x3
-2		=		+6x2

(2x+1)·(x3+6)-(x2+x-2)(3x2)=x4(+2-3)+x3(+1-3)+x2(+6)+12x+6(2x+1)·(x3+6)-(x2+x-2)(3x2)=-1x4-2x3+6x2+12x+6(x2+6)2=(x2)2+2(x2)(6)+(6)2=x4+12x2+36dy

dx=-1x4-2x3+6x2+12x+6

x4+12x2+36${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{-1x^4-2x^3+6x^2+12x+6}{x^4+12x^2+36}}$ Material digitado usando .