Polinômios

aPolinômios por Gilson WürzExercícios:1) Determine o valor de n, de tal forma que o polinômio P(x)=(n2-4)x3+x2+2x=3${\displaystyle P(x)=(n^2-4)x^3+x^2+2x=3}$ tenha grau 2.Resposta: n=a

-2
+2

${\displaystyle n=\{\begin{array}{ll}-2& \\ +2& \end{array}}$2) Determine o valor de n${\displaystyle n}$, de tal forma que o polinômio P(x)=(n3-2n2-9n+18)x3+2x2-1${\displaystyle P(x)=(n^3-2n^2-9n+18)x^3+2x^2-1}$ tenha grau 2.Resposta: n=a

+3
-3
+2

${\displaystyle n=\{\begin{array}{ll}+3& \\ -3& \\ +2& \end{array}}$3) Determine o valor de n${\displaystyle n}$, de tal forma que o polinômio P(x)=(n2-5n+6)x2+3

4x-20${\displaystyle P(x)=(n^2-5n+6)x^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}x-20}$ tenha grau 1.Resposta: n=a

2
3

${\displaystyle n=\{\begin{array}{ll}2& \\ 3& \end{array}}$4) Discutir o grau do polinômio P(x)=(a-2)x3+ax2+3${\displaystyle P(x)=(a-2)x^3+a{x}^2+3}$, em função de a${\displaystyle a}$.Resposta: Verificar os possíveis graus do polinômios para determinado valor de a.5) Discutir o grau do polinômio P(x)= (n3 + 2n2 - n - 2)x3+4x2+3${\displaystyle P(x)=(n^3+2n^2-n-2)x^3+4x^2+3}$, em função de n${\displaystyle n}$.Resposta: Verificar os possíveis graus do polinômios para determinado valor de n${\displaystyle n}$.6) Dado o polinômio P(x)=2x2-3x+k${\displaystyle P(x)=2x^2-3x+k}$, determinar o valor de k${\displaystyle k}$ de modo que a raíz de P(x)${\displaystyle P(x)}$ seja 4.Resposta: k=-20${\displaystyle k=-20}$7) Dado o polinômio P(x)=kx2+x-6${\displaystyle P(x)=k{x}^2+x-6}$, determinar o valor de k${\displaystyle k}$ de modo que a raíz de P(x)${\displaystyle P(x)}$ seja 2 e - 3.Resposta: k=1${\displaystyle k=1}$8) Dado o polinômio P(x)=x3+2x2-15x+k ${\displaystyle P(x)=x^3+2x^2-15x+k}$, determinar o valor de k${\displaystyle k}$ de modo que a raíz de P(x)${\displaystyle P(x)}$ seja 0, 3 e - 5.Resposta: k=0${\displaystyle k=0}$9) Determinar o polinômio P(x)=ax+b${\displaystyle P(x)=ax+b}$, com a≠0${\displaystyle a\ne 0}$ e P(-1)=1${\displaystyle P(-1)=1}$ e P(3)=9${\displaystyle P(3)=9}$Resposta: P(x)=2x+3${\displaystyle P(x)=2x+3}$10) Determinar o polinômio Q(x)=ax+b${\displaystyle Q(x)=ax+b}$, com a≠0${\displaystyle a\ne 0}$ e Q(2)=3${\displaystyle Q(2)=3}$ e Q(5)=9${\displaystyle Q(5)=9}$Resposta: Q(x)=2x-1${\displaystyle Q(x)=2x-1}$11) Determinar o polinômio M(x)=ax+b${\displaystyle M(x)=ax+b}$, com a≠0${\displaystyle a\ne 0}$ e M(3)=0${\displaystyle M(3)=0}$ e M(-1)=-12${\displaystyle M(-1)=-12}$Resposta: M(x)=3x-9${\displaystyle M(x)=3x-9}$12) Determinar o polinômio a ${\displaystyle \begin{array}{l}\\ \end{array}}$N(x)=ax2+bx+c${\displaystyle N(x)=a{x}^2+bx+c}$, com a≠0${\displaystyle a\ne 0}$ e N(0)=-2, N(-1)=-6${\displaystyle N(0)=-2,N(-1)=-6}$ e N(10)=-72${\displaystyle N(10)=-72}$Resposta: N(x)=-x2+3x-2${\displaystyle N(x)=-x^2+3x-2}$13) Determinar o polinômio a ${\displaystyle \begin{array}{l}\\ \end{array}}$S(x)=ax2+bx+c${\displaystyle S(x)=a{x}^2+bx+c}$, com a≠0${\displaystyle a\ne 0}$ e S(2)=14, S(3)=31${\displaystyle S(2)=14,S(3)=31}$ e S(-4)=38${\displaystyle S(-4)=38}$Resposta: S(x)=3x2+2x-2${\displaystyle S(x)=3x^2+2x-2}$14) Determinar a,b${\displaystyle a,b}$ e c${\displaystyle c}$ para que o polinômio P(x)=(a+3)x2+(3b-9)x+c${\displaystyle P(x)=(a+3)x^2+(3b-9)x+c}$ seja numericamente nulo.Resposta: a=-3${\displaystyle a=-3}$, b=3${\displaystyle b=3}$ e c=0${\displaystyle c=0}$14) Determinar os valores de m${\displaystyle m}$ e n${\displaystyle n}$ para que o polinômio P(x)=(m2-m)x2+6x-1${\displaystyle P(x)=(m^2-m)x^2+6x-1}$ e Q(x)=2x2+(n+1)x-1${\displaystyle Q(x)=2x^2+(n+1)x-1}$ sejam idênticos.Resposta: m=a

2
-1

${\displaystyle m=\{\begin{array}{ll}2& \\ -1& \end{array}}$e n=5${\displaystyle n=5}$15) Sendo P(x)=2x4-x3+x2+x+3${\displaystyle P(x)=2x^4-x^3+x^2+x+3}$ e Q(x)=x3+2x2-x+3${\displaystyle Q(x)=x^3+2x^2-x+3}$, calcular:a) P(x)+Q(x)${\displaystyle P(x)+Q(x)}$Resposta: 2x4+3x2+6${\displaystyle 2x^4+3x^2+6}$b) Q(x)-P(x)${\displaystyle Q(x)-P(x)}$ Resposta: -2x3 +2x2+1x3 -2x${\displaystyle -2x^3+2x^2+1x^3-2x}$16) Sabendo que P(x)=1x2-1x${\displaystyle P(x)=1x^2-1x}$ e Q(x)=-1x2+2x+5${\displaystyle Q(x)=-1x^2+2x+5}$, determine P(x)Q(x)${\displaystyle P(x)Q(x)}$.Resposta: -x4+3x3+3x2-5x${\displaystyle -x^4+3x^3+3x^2-5x}$17) Determine P(x)Q(x)${\displaystyle P(x)Q(x)}$ sabendo que P(x)=-3x3+2x2+x-3${\displaystyle P(x)=-3x^3+2x^2+x-3}$ e Q(x)=-3x3+x+2${\displaystyle Q(x)=-3x^3+x+2}$.Resposta: 9x6-6x5-6x4+5x3+5x2-x-6${\displaystyle 9x^6-6x^5-6x^4+5x^3+5x^2-x-6^{}}$18) Determine o valor de a+b${\displaystyle a+b}$, sabendo que P(x)=4x2+5x-3${\displaystyle P(x)=4x^2+5x-3}$ e Q(x)=-x3-2x2-3x-4${\displaystyle Q(x)=-x^3-2x^2-3x-4}$ forma o polinômio P(x)Q(x)=-4x5-13x4-19x3-25x2+ax+b${\displaystyle P(x)Q(x)=-4x^5-13x^4-19x^3-25x^2+ax+b}$Resposta: a+b=1${\displaystyle a+b=1}$19) Expanda os binômios como polinômios de grau n${\displaystyle n}$a) (x-1

2)3${\displaystyle (x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^3}$Resposta: x3-3

2x2+3

4x-1

8${\displaystyle x^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{1}{8}}}$b) (2x-1

3)4${\displaystyle (2x-{\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^4}$Resposta: 16x4-32

3x3+8

3x2-8

27x+1

81${\displaystyle 16x^4-{\displaystyle \frac{32}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{8}{3}}{x}^2-{\displaystyle \frac{8}{27}}x+{\displaystyle \frac{1}{81}}}$c) (-x

3-1

9)6${\displaystyle (-{\displaystyle \frac{x}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{9}}{)}^6}$Resposta: x6

729+2x5

729+5x4

2187+20x3

19683+5x2

19683+2x

59049+1

531441${\displaystyle {\displaystyle \frac{x^6}{729}}+{\displaystyle \frac{2x^5}{729}}+{\displaystyle \frac{5x^4}{2187}}+{\displaystyle \frac{20x^3}{19683}}+{\displaystyle \frac{5x^2}{19683}}+{\displaystyle \frac{2x}{59049}}+{\displaystyle \frac{1}{531441}}}$20) Realize a fatoração dos polinômios abaixo transformando-os em binômios de grau n${\displaystyle n}$a) 3x2-15x+18${\displaystyle 3x^2-15x+18}$Resposta: 3(x-3)(x-2)${\displaystyle 3(x-3)(x-2)}$b) 4x4 - 24x2 + 36${\displaystyle 4x^4-24x^2+36}$Resposta: 4(x2-3)2${\displaystyle 4(x^2-3{)}^2}$