Evaporação e potencial efetivo de um buraco negro

aDerivação da equação da radiação Hawking, considerando um buraco negro não rotativo e sem carga elétrica A radiação Hawking é baseada em um fenômeno quântico que ocorre próximo ao horizonte de eventos de um buraco negro. A ideia central é que, devido à flutuação quântica do vácuo, pares de partículas virtuais (uma partícula e uma antipartícula) são criados temporariamente perto do horizonte de eventos. Uma dessas partículas pode cair no buraco negro, enquanto a outra escapa para o espaço exterior. Isso resulta em uma perda gradual de energia pelo buraco negro ao longo do tempo. Vamos considerar um buraco negro de Schwarzschild, que é um buraco negro não rotativo e não carregado. A métrica de Schwarzschild é dada por: ds2=-(1-2GM

c2r)c2dt2+1

1-2GM

c2rdr2+r2(dθ+sin2θd𝜙2)${\displaystyle d{s}^2=-(1-{\displaystyle \frac{2GM}{c^{2}r}})c^{2}d{t}^2+{\displaystyle \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{2GM}{c^{2}r}}}}d{r}^2+r^2(d\theta +si{n}^2\theta d{𝜙}^2)}$ Agora, usando a análise quântica de campos, podemos considerar um campo escalar próximo ao horizonte de eventos do buraco negro. A equação de Klein-Gordon para esse campo é dada por:1

-g∂𝜇(-g.g𝜇𝜈∂𝜈𝛷)-m2c2

ℏ2𝛷=0${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{-g}}}{\partial }_{𝜇}\left(\sqrt{-g.g^{𝜇𝜈}{\partial }_{𝜈}𝛷}\right)-{\displaystyle \frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}}𝛷=0}$ Onde g${\displaystyle g}$ é o determinante da métrica, g𝜇𝜈${\displaystyle g^{𝜇𝜈}}$ é o tensor métrico inverso, ℏ${\displaystyle \hslash }$ é a constante reduzida de Planck e m${\displaystyle m}$ é a massa da partícula. Quando essa equação é aplicada próximo ao horizonte de eventos (r≈2GM

c2)${\displaystyle r\approx {\displaystyle \frac{2GM}{c^2}})}$, a solução tem a forma:𝛷(t,r,θ,𝜙)=e-i𝜔tR(r)Ylm(𝜃,𝜙)${\displaystyle 𝛷(t,r,\theta ,𝜙)=e^{-i𝜔t}R(r)Y_{lm}(𝜃,𝜙)}$ Substituindo essa solução na equação de Klein-Gordon, obtemos uma equação diferencial para R(r)${\displaystyle R(r)}$. Esta equação tem a forma semelhante a uma equação de onda na presença de um potencial efetivo:d2R

dr2*+(ω2-Veff)R=0${\displaystyle {\displaystyle \frac{d^{2}R}{d{r}_{*}^2}}+({\omega }^2-V_{\text{eff}})R=0}$ Onde r*${\displaystyle r_{*}}$ é a coordenada de tortuga, ω${\displaystyle \omega }$ é a frequência da onda e Veff${\displaystyle V_{\text{eff}}}$ é o potencial efetivo. O termo importante aqui é Veff${\displaystyle V_{\text{eff}}}$, que contém um termo que representa a influência do buraco negro. A equação para Veff${\displaystyle V_{\text{eff}}}$ perto do horizonte de eventos (r≈2GM

c2${\displaystyle r\approx {\displaystyle \frac{2GM}{c^2}}}$) é aproximadamente: Veff≈ℏ

2c2(l(l+1)

r2+6GM

c2r3)${\displaystyle V_{\text{eff}}\approx {\displaystyle \frac{\hslash }{2c^2}}({\displaystyle \frac{l(l+1)}{r^2}}+{\displaystyle \frac{6GM}{c^2{r}^3}})}$ O primeiro termo representa o potencial angular e o segundo termo é o potencial gravitacional. O potencial efetivo é positivo para frequências baixas (ω${\displaystyle \omega }$) e negativo para frequências altas. A ideia chave é que perto do horizonte de eventos, o potencial efetivo negativo permite que as partículas escapem do buraco negro, enquanto o positivo permite que as partículas se aproximem do buraco negro. A taxa de emissão de partículas é maior para frequências maiores, resultando em uma radiação térmica. Ao considerar todas as frequências, a taxa total de emissão é dada pela equação da radiação Hawking:dM

dt=-ℏc2

GM2${\displaystyle {\displaystyle \frac{dM}{dt}}=-{\displaystyle \frac{\hslash c^2}{G{M}^2}}}$ Essa derivação envolve muitos passos matemáticos e aproximações, mas a ideia fundamental é que a flutuação quântica perto do horizonte de eventos resulta na criação de pares de partículas e antipartículas, com uma delas escapando e levando energia do buraco negro. Problemas envolvendo buracos negros Questão 1: Qual é o raio de Schwarzschild de um buraco negro com massa solar? Resposta: O raio de Schwarzschild (também conhecido como raio do horizonte de eventos) de um buraco negro é dado pela fórmula:R=2GM

c2${\displaystyle R=\frac{2GM}{c^2}}$Onde:i) G${\displaystyle G}$ é a constante gravitacional (6,67430 ×10-11m3/kg/s2)${\displaystyle 6,67430\times {10}^{-11}{m}^3/kg/s^2)}$ii) M${\displaystyle M}$ é a massa do buraco negroiii) c${\displaystyle c}$ é a velocidade da luz (299 792 458 m/s)${\displaystyle 299792458\text{ m/s)}}$.Se a massa do buraco negro for igual à massa solar (M = 1,989 × 10 30 kg${\displaystyle M=1,989\times 10{}^{30}\text{ kg}}$), então substituindo os valores na fórmula:R=2×6,67430×-11×1,989×1030

299 792 458≈2954,95 m${\displaystyle R={\displaystyle \frac{2\times 6,67430{\times }^{-11}\times 1,989\times {10}^{30}}{299792458}}\approx 2954,95\text{ m}}$ Questão 2: Se um buraco negro com 10 vezes a massa do Sol evapora completamente devido à radiação Hawking, quanto tempo levará para que isso aconteça? Resposta: A taxa de evaporação de um buraco negro devido à radiação Hawking é dada pela fórmula:dM

dt=-ℏc2

GM2${\displaystyle {\displaystyle \frac{dM}{dt}}=-{\displaystyle \frac{\hslash c^2}{G{M}^2}}}$Onde: i) ℏ${\displaystyle \hslash }$ é a constante reduzida de Planck (1,0545718 ×10-34 m^2/kg/s${\displaystyle 1,0545718\times {10}^{-34}\text{m^2/kg/s}}$);ii) G${\displaystyle G}$ é a constante gravitacional;iii) M${\displaystyle M}$ é a massa do buraco negro. Se a massa do buraco negro for 10 vezes a massa solar (M=10×1,989×1030 kg${\displaystyle M=10\times 1,989\times {10}^{30}\text{kg}}$, substituindo os valores na fórmula:dM

dt=-1,05457 ×10-34×(299 792 458)2

6,67430×10-11×(10×1,989×1030)2≈-1,185×10-8kg/s${\displaystyle {\displaystyle \frac{dM}{dt}}=-{\displaystyle \frac{1,05457\times {10}^{-34}\times (299792458{)}^2}{6,67430\times {10}^{-11}\times (10\times 1,989\times {10}^{30}{)}^2}}\approx -1,185\times {10}^{-8}\text{kg/s}}$Para o buraco negro evaporar completamente ($M = 0$), o tempo necessário seria:t=M

dM

dt≈10×1,989×1030

1,185×10-8≈1,68×1036 s${\displaystyle t={\displaystyle \frac{M}{{\displaystyle \frac{dM}{dt}}}}\approx {\displaystyle \frac{10\times 1,989\times {10}^{30}}{1,185\times {10}^{-8}}}\approx 1,68\times {10}^{36}\text{ s}}$Convertendo isso para anos (aproximadamente 3,17×1028 anos${\displaystyle 3,17\times {10}^{28}\text{ anos}}$:t ≈1,68×1036

60×60×24×365≈3,17×1028 anos${\displaystyle t\approx {\displaystyle \frac{1,68\times {10}^{36}}{60\times 60\times 24\times 365}}\approx 3,17\times {10}^{28}\text{ anos}}$ Questão 3: Um buraco negro tem uma massa de \(5 \times 10^{31}\) kg. Qual é o seu raio de Schwarzschild? Resolução: O raio de Schwarzschild é dado pela fórmula R=GM

c2${\displaystyle R={\displaystyle \frac{GM}{c^2}}}$. Substituindo os valores:- G=6,67430×10-11m3/kg×s2${\displaystyle G=6,67430\times {10}^{-11}{\text{m}}^3/\text{kg}\times {\text{s}}^2}$- M=5×1031${\displaystyle M=5\times {10}^{31}}$kg- c=299 792 458${\displaystyle c=299792458}$ m/s Calculamos:R=2×6,67430×10-11×5×1031

(299 792 458)2m≈74686 m${\displaystyle R={\displaystyle \frac{2\times 6,67430\times {10}^{-11}\times 5\times {10}^{31}}{(299792458{)}^2}}\text{m}\approx 74686\text{ m}}$ Questão 4: Um buraco negro tem um raio de Schwarzschild de 10 km. Qual é a sua massa? Resolução: Podemos rearranjar a fórmula do raio de Schwarzschild para encontrar a massa M=Rc2

2G${\displaystyle M={\displaystyle \frac{R{c}^2}{2G}}}$Substituindo os valores:- R=10 000${\displaystyle R=10000}$ m;- c = 299 792 458${\displaystyle c=299792458}$ m/s- G = 6,67430 ×10-11m3/kg.s2${\displaystyle G=6,67430\times {10}^{-11}{\text{m}}^3/{\text{kg.s}}^2}$Calculamos:M=10 000 (299 792 458)2

2×6,67430×10-11${\displaystyle M={\displaystyle \frac{10000(299792458{)}^2}{2\times 6,67430\times {10}^{-11}}}}$kg≈5,325×1028${\displaystyle \approx 5,325\times {10}^{28}}$ kg Questão 5: Um buraco negro com massa igual à do Sol está emitindo radiação Hawking. Seu ritmo de evaporação é 2×10-8${\displaystyle 2\times {10}^{-8}}$kg/s. Quanto tempo levará para que o buraco negro evapore completamente? Resolução: Podemos usar a fórmula da taxa de evaporação da radiação Hawking: dM

dt=-ℏc2

GM2${\displaystyle {\displaystyle \frac{dM}{dt}}=-{\displaystyle \frac{\hslash c^2}{G{M}^2}}}$.Dado que ℏ=1,0545718×10-34 m2kg/s${\displaystyle \hslash =1,0545718\times {10}^{-34}{\text{ m}}^2\text{kg/s}}$, c = 299 792 458 m/s${\displaystyle c=299792458\text{m/s}}$ e G=6,67430×10-11m3/kg.s2${\displaystyle G=6,67430\times {10}^{-11}{\text{m}}^3/{\text{kg.s}}^2}$ , e sabendo que M${\displaystyle M}$ é inicialmente igual à massa solar (M=1,989×1030${\displaystyle M=1,989\times {10}^{30}}$ kg), podemos usar: t = M

dM

dt${\displaystyle t={\displaystyle \frac{M}{{\displaystyle \frac{dM}{dt}}}}}$ Calculamos:t=1,989×1030

2×10-8≈9,945×1037${\displaystyle t={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{30}}{2\times {10}^{-8}}}\approx 9,945\times {10}^{37}}$s Convertendo para anos:t ≈9,945×1037

60×60×24×365≈3,15×1030${\displaystyle t\approx {\displaystyle \frac{9,945\times {10}^{37}}{60\times 60\times 24\times 365}}\approx 3,15\times {10}^{30}}$anos Exercício 6: Considere um buraco negro de Schwarzschild com uma massa de 2×1030${\displaystyle 2\times {10}^{30}}$ kg. Calcule o potencial efetivo para uma partícula com l=2${\displaystyle l=2}$ a uma distância r=4×104${\displaystyle r=4\times {10}^4}$ metros do centro do buraco negro. Resolução: O potencial angular efetivo próximo a um buraco negro de Schwarzschild é dado pela fórmula: Veff≈ℏ

2c2(l(l+1)

r2+6GM

c2r3)${\displaystyle V_{\text{eff}}\approx {\displaystyle \frac{\hslash }{2c^2}}({\displaystyle \frac{l(l+1)}{r^2}}+{\displaystyle \frac{6GM}{c^2{r}^3}})}$Substituindo os valores:- ℏ=1,054718×10-34m2.kg/s${\displaystyle \hslash =1,054718\times {10}^{-34}{\text{m}}^2\text{.kg/s}}$;- c=299 792 458${\displaystyle c=299792458}$ m/s;- l=2${\displaystyle l=2}$;- r=4×104${\displaystyle r=4\times {10}^4}$ m;- G=6,67430×10-11m3/kg.s2${\displaystyle G=6,67430\times {10}^{-11}{\text{m}}^3/{\text{kg.s}}^2}$ e - M=2×1030${\displaystyle M=2\times {10}^{30}}$kg. Calculamos:V≈(1,0545718×10-34)2

2×(299 792 458)2(2(2+1)

(4×104)2+6×6,67430×10-11×2×1030

(299 792 458)2(4×104)3)≈1,482×10-20${\displaystyle V\approx {\displaystyle \frac{(1,0545718\times {10}^{-34}{)}^2}{2\times (299792458{)}^2}}({\displaystyle \frac{2(2+1)}{(4\times {10}^4{)}^2}}+{\displaystyle \frac{6\times 6,67430\times {10}^{-11}\times 2\times {10}^{30}}{(299792458{)}^2(4\times {10}^4{)}^3}})\approx 1,482\times {10}^{-20}}$J. Exercício 2: Um cientista está investigando o potencial angular de um buraco negro de massa 4×1031${\displaystyle 4\times {10}^{31}}$kg. Se ele encontra uma partícula com l=3${\displaystyle l=3}$ a uma distância r=6×105${\displaystyle r=6\times {10}^5}$ metros do centro do buraco negro, determine o potencial efetivo. Resolução: Usando a mesma fórmula do potencial angular efetivo e substituindo os valores:- ℏ=1,0545718×10-34m2kg/s${\displaystyle \hslash =1,0545718\times {10}^{-34}{\text{m}}^2\text{kg/s}}$;- c=299 792 458${\displaystyle c=299792458}$ m/s;- l=3${\displaystyle l=3}$;- r=6×105${\displaystyle r=6\times {10}^5}$ m;- G=6,67430×10-11m3/kgs2${\displaystyle G=6,67430\times {10}^{-11}{\text{m}}^3{\text{/kgs}}^2}$ e - M=4×1031${\displaystyle M=4\times {10}^{31}}$kg. Calculamos:Veff≈(1,0545718×10-34)2

2×(299 792 458)2(3(3+1)

(6×104)2+6×6,67430×10-11×4×1031

(299 792 458)2(6×104)3)≈2,773×10-20${\displaystyle V_{\text{eff}}\approx {\displaystyle \frac{(1,0545718\times {10}^{-34}{)}^2}{2\times (299792458{)}^2}}({\displaystyle \frac{3(3+1)}{(6\times {10}^4{)}^2}}+{\displaystyle \frac{6\times 6,67430\times {10}^{-11}\times 4\times {10}^{31}}{(299792458{)}^2(6\times {10}^4{)}^3}})\approx 2,773\times {10}^{-20}}$J.