Progressões aritméticas

aExercício resolvidoGilson Würz. Math(UFC) Seja S a soma dos inteiros positivos menores que 100 e que não são divisíveis por 9. Determine o valor de 1

396S${\displaystyle \frac{1}{396}S}$. Resposta comentada:Vale lembrar que zero (0) é um elemento neutro, não é nem positivo e nem negativo. Portanto, devemos considerar o primeiro termo da P.A, a1=1${\displaystyle a_1=1}$, an=100${\displaystyle a_n=100}$ e razão r=1${\displaystyle r=1}$. Desse modo, temos: a

an	=	a1+(n-1)r
100	=	1+(n-1)1
100	=	1+n-1
100	=	n

${\displaystyle \begin{array}{lcl}{a}_n& =& a_1+(n-1)r\\ 100& =& 1+(n-1)1\\ 100& =& 1+n-1\\ 100& =& n\end{array}}$ Assim, aST=n(n+1)

2ST=100(100+1)

2ST=50(101)ST=5050${\displaystyle \begin{array}{l}{S}_T=\frac{n(n+1{)}_{}}{2}\\ S_T=\frac{100(100+1)}{2}\\ S_T=50(101)\\ S_T=5050\end{array}}$Agora, devemos considerar todos os elementos divisíveis por 6 e excluí-los da soma da PA acima.Portanto, D={9,18,..., 99}.Disso, concluímos que a1=9, an=99${\displaystyle a_1=9,a_n=99}$ e r=9${\displaystyle r=9}$.Logo, a

an	=	a1+(n-1)r
99	=	9+(n-1)9
99	=	9+9n-9
99	=	9n
n	=	99 9
n	=	11

${\displaystyle \begin{array}{cll}{a}_n& =& a_1+(n-1)r\\ 99& =& 9+(n-1)9\\ 99& =& 9+9n-9\\ 99& =& 9n\\ n& =& \frac{99}{9}\\ n& =& 11\end{array}}$Portanto, a soma aSD=n(n+1)

2SD=11(11+1)

2SD=11·6SD=66${\displaystyle \begin{array}{l}{S}_D=\frac{n(n+1)}{2}\\ S_D=\frac{11(11+1)}{2}\\ S_D=11·6\\ S_D=66\end{array}}$Por fim, temos que o total de S=ST-SD→S=5050-66=4384${\displaystyle S=S_T-S_D\to S=5050-66=4384}$. a

5	0	5	0
	-	6	6
4	3	8	4

${\displaystyle \begin{array}{cccc}5& 0& 5& 0\\ & -& 6& 6\\ 4& 3& 8& 4\end{array}}$Logo, 1

396S=1

396(4384)=11${\displaystyle \frac{1}{396}S=\frac{1}{396}(4384)=11}$