Média, mediana, moda, desvio padrão e variância de distribuições continuas

aDistribuição e probabilidade Suponha que você tem um conjunto de partículas, e cada partícula tem uma massa associada. As massas das partículas estão representadas pela série dada: Ω={0,0,1,1,1,2,2,3,4,5}${\displaystyle \Omega =\{0,0,1,1,1,2,2,3,4,5\}}$ Agora, você deseja calcular a média (valor esperado) da massa de uma partícula escolhida aleatoriamente, com base nas probabilidades associadas a cada massa, depois de verificar que a quantidade de partículas estudadas é dada exatamente pela quantidade de elementos dentro do conjunto estudado, ou seja, n(Ω)=10${\displaystyle n(\Omega )=10}$Sabendo que:• As partículas de massa zero são caracterizadas pelo evento A, então, a quantidade de elementos que compõem esse evento é, n(A)=2${\displaystyle n(A)=2}$.• As partículas de massa um são caracterizadas pelo evento B, então, a quantidade de elementos que compõem esse evento é, n(B)=3${\displaystyle n(B)=3}$.• As partículas de massa dois são caracterizadas pelo evento C, então, a quantidade de elementos que compõem esse evento é, n(C)=2${\displaystyle n(C)=2}$.• As partículas de massa três são caracterizadas pelo evento D, então, a quantidade de elementos que compõem esse evento é, n(D)=1${\displaystyle n(D)=1}$.• As partículas de massa 4 são caracterizadas pelo evento E, então, a quantidade de elementos que compõem esse evento é, n(E)=1${\displaystyle n(E)=1}$.• As partículas de massa 5 são caracterizadas pelo evento F, então, a quantidade de elementos que compõem esse evento é, n(F)=1${\displaystyle n(F)=1}$.As probabilidades de escolher uma partícula com uma determinada massa são as seguintes: 1) Probabilidade de escolher uma partícula com massa igual a zero, ou seja, dada pelo evento A com relação ao total de partículas analisadas: P(m=0) = n(A)

n(Ω)=2

10=20%${\displaystyle P(m=0)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(\Omega )}}={\displaystyle \frac{2}{10}}=20\%}$. 2) Probabilidade de escolher uma partícula com massa igual a um, ou seja, dada pelo evento B com relação ao total de partículas analisadas: P(m=1) = n(B)

n(Ω)=3

10=30%${\displaystyle P(m=1)={\displaystyle \frac{n(B)}{n(\Omega )}}={\displaystyle \frac{3}{10}}=30\%}$. 3) Probabilidade de obter uma partícula com massa igual a dois, ou seja, dada pelo evento C com relação ao total de partículas estudadas: P(m=2) = n(C)

n(Ω)=2

10=20%${\displaystyle P(m=2)={\displaystyle \frac{n(C)}{n(\Omega )}}={\displaystyle \frac{2}{10}}=20\%}$. 4) Probabilidade de obter uma partícula com massa igual a três, ou seja, dada pelo evento D com relação ao total de partículas estudadas:P(m=3) = n(D)

n(Ω)=1

10=20%${\displaystyle P(m=3)={\displaystyle \frac{n(D)}{n(\Omega )}}={\displaystyle \frac{1}{10}}=20\%}$. 5) Probabilidade de escolher uma partícula com massa igual a quatro, ou seja, dada pelo evento E${\displaystyle E}$ em relação à amostra Ω${\displaystyle \Omega }$:P(m=4)=n(E)

n(Ω)=1

10=10%${\displaystyle P(m=4)={\displaystyle \frac{n(E)}{n(\Omega )}}={\displaystyle \frac{1}{10}}=10\%}$. 6) Probabilidade de escolher uma partícula com massa igual a cinco, ou seja, o número de elemento de massa igual a cinco em relação ao total de partículas: P(m=5)=n(F)

n(Ω)=1

10=10%${\displaystyle P(m=5)={\displaystyle \frac{n(F)}{n(\Omega )}}={\displaystyle \frac{1}{10}}=10\%}$. Observe que, a soma em uma probabilidade discreta deve ser igual a 1 ou igual a 100%.Portanto,𝛴i=10i=1pi(xi)=2

10+3

10+2

10+1

10+1

10+1

10=10

10=1=100%${\displaystyle {𝛴}_{i=1}^{i=10}{p}_i(x_i)={\displaystyle \frac{2}{10}}+{\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{10}}={\displaystyle \frac{10}{10}}=1=100\%}$ Agora, para calcular a média da massa das partículas, você multiplica cada massa possível pelo seu respectivo valor de probabilidade e soma todos esses produtos. <x>=𝛴i=10i=1xip(x>xi)=0×2

10+1×3

10+2×2

10+3×1

10+4×1

10+5×1

10=1,90${\displaystyle <x>={𝛴}_{i=1}^{i=10}{x}_{i}p(x>x_i)=0\times {\displaystyle \frac{2}{10}}+1\times {\displaystyle \frac{3}{10}}+2\times {\displaystyle \frac{2}{10}}+3\times {\displaystyle \frac{1}{10}}+4\times {\displaystyle \frac{1}{10}}+5\times {\displaystyle \frac{1}{10}}=1,90}$ u.m. Portanto, a média da massa das partículas, escolhidas aleatoriamente de acordo com as probabilidades dadas, é de 1,90 unidades de massa. Isso representa o valor esperado da massa de uma partícula selecionada aleatoriamente.No caso, de uma distribuição contínua, temos o mesmo conceito em que a soma das probabilidades deve ser igual a um. Ou seja, <x>=+∞∫-∞𝜌(x)dx=1${\displaystyle <x>=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}𝜌(x)dx=1}$A função 𝜌(x)=exp(-x)${\displaystyle 𝜌(x)=\text{exp}(-x)}$ descreve uma queda exponencial, onde x${\displaystyle x}$ é a variável independente e 𝜌(x)${\displaystyle 𝜌(x)}$ é a variável dependente. Para gerar uma sequência de números que satisfaça essa equação, você pode simplesmente escolher valores para x${\displaystyle x}$ e calcular os valores correspondentes de 𝜌(x)${\displaystyle 𝜌(x)}$ usando a função exponencial. Aqui estão alguns pares de valores x${\displaystyle x}$ e 𝜌(x)${\displaystyle 𝜌(x)}$ que satisfazem a equação 𝜌(x)=exp(-x)${\displaystyle 𝜌(x)=\text{exp}(-x)}$: 1. x = 0,00, 𝜌(x=0,00)=1,000${\displaystyle 𝜌(x=0,00)=1,000}$2. x = 0,50, 𝜌(x=0,50)=0,607${\displaystyle 𝜌(x=0,50)=0,607}$3. x = 1,00, 𝜌(x=1,00)=0,368${\displaystyle 𝜌(x=1,00)=0,368}$4. x = 1,50, 𝜌(x=1,50)=0,223${\displaystyle 𝜌(x=1,50)=0,223}$5. x = 2,00, 𝜌(x=2,00)=0,135${\displaystyle 𝜌(x=2,00)=0,135}$6. x = 2,50, 𝜌(x=2,50)=0,083${\displaystyle 𝜌(x=2,50)=0,083}$7. x = 3,00, 𝜌(x=3,00)=0,050${\displaystyle 𝜌(x=3,00)=0,050}$8. x = 3,50, 𝜌(x=3,50)=0,030${\displaystyle 𝜌(x=3,50)=0,030}$9. x = 4,00, 𝜌(x=4,00)=0,018${\displaystyle 𝜌(x=4,00)=0,018}$10. x = 4,50, 𝜌(x=4,50)=0,011${\displaystyle 𝜌(x=4,50)=0,011}$ Essa sequência representa uma queda exponencial onde 𝜌(x)${\displaystyle 𝜌(x)}$ diminui à medida que x${\displaystyle x}$ aumenta. Vamos relembrar de algumas das propriedades das distribuições para conseguir computar a média, mediana, média quadrática, variância e desvio padrão. Moda A moda em uma distribuição contínua representa o valor ou os valores da variável aleatória que têm a maior densidade de probabilidade, ou seja, são os valores mais prováveis de ocorrerem. No caso de uma distribuição contínua com densidade de probabilidade dada por 𝜌(x)=exp(-x)${\displaystyle 𝜌(x)=\text{exp(-x)}}$, a moda corresponde ao valor ou aos valores de x${\displaystyle x}$ que maximizam a densidade de probabilidade. Para encontrar a moda nessa distribuição, podemos derivar a densidade de probabilidade em relação a \(x\) e igualar a derivada a zero. Isso nos dará os pontos onde a densidade de probabilidade atinge o seu máximo. Vamos calcular a derivada da densidade de probabilidade: d

dxe-x=-e-x${\displaystyle {\displaystyle \frac{d}{dx}}{e}^{-x}=-e^{-x}}$ Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos de máximo: -e-x=0${\displaystyle -e^{-x}=0}$ No entanto, a exponencial negativa nunca é igual a zero. Portanto, não existem pontos onde a densidade de probabilidade seja maximizada, e essa distribuição contínua não possui uma única moda.

𝜌(x)=e-x Isso significa que, na distribuição contínua dada por 𝜌(x)=e-x${\displaystyle 𝜌(x)=e^{-x}}$, todos os valores de x${\displaystyle x}$ têm densidades de probabilidade diferentes, mas não há um valor específico que seja o mais provável. A densidade de probabilidade diminui exponencialmente à medida que \(x\) aumenta, mas não atinge um máximo, tornando essa distribuição unimodal (sem moda). Mediana No contexto da distribuição contínua com densidade de probabilidade dada por 𝜌(x)=e-x${\displaystyle 𝜌(x)=e^{-x}}$, a mediana é uma medida estatística importante que nos ajuda a compreender a localização do ponto central da distribuição. A mediana é definida como o valor de x${\displaystyle x}$ que divide a distribuição em duas partes iguais, ou seja, 50% dos valores da variável aleatória estão abaixo da mediana, e 50% estão acima dela. Para encontrar a mediana nesta distribuição, precisamos determinar o valor de x${\displaystyle x}$ que satisfaz a seguinte equação: x=mediana∫-∞e-xdx=1

2${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{x=\text{mediana}}{\int }}{e}^{-x}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}}$ A integral acima representa a área acumulada sob a curva da densidade de probabilidade até o ponto x=mediana${\displaystyle x=mediana}$, e a igualdade a 1

2${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}}$ indica que estamos procurando o ponto que divide igualmente essa área. Resolvendo a integral, chegamos a: -e-xax=mediana-∞=1

2${\displaystyle -e^{-x}{|}_{-\infty }^{x=mediana}={\displaystyle \frac{1}{2}}}$ Avaliando os limites da integral: limx →-∞(-e-x-(-e-x=mediana))=1

2${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\overset{}{lim}}(-e^{-x}-(-e^{-x=mediana}\left)\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}}$ Como limx →-∞e-x=0${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\overset{}{lim}}{e}^{-x}=0}$ (a exponencial negativa tende a zero quando x${\displaystyle x}$ se aproxima do infinito negativo), podemos simplificar a equação para: -e-x=mediana=1

2${\displaystyle -e^{-x=mediana}={\displaystyle \frac{1}{2}}}$ Agora, podemos resolver para x=mediana${\displaystyle x=mediana}$: e-x=mediana=-1

2${\displaystyle e^{-x=mediana}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}}$ Tomando o logaritmo natural em ambos os lados: xMEDIANA=ln(-1

2)${\displaystyle x_{MEDIANA}=\ln (-{\displaystyle \frac{1}{2}})}$ E multiplicando ambos os lados por -1: xMEDIANA=-ln(-1

2)=ln(2)${\displaystyle x_{MEDIANA}=-\ln (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=\ln (2)}$ Portanto, a mediana da distribuição é aproximadamente xMEDIANA≈0,6931${\displaystyle x_{MEDIANA}\approx 0,6931}$. Isso significa que, na distribuição com densidade de probabilidade 𝜌(x)=e-x${\displaystyle 𝜌(x)=e^{-x}}$, o valor da mediana está em torno de 0,6931. Isso indica que metade das observações desta distribuição está abaixo de 0,6931, e a outra metade está acima desse valor, tornando-o um ponto de referência importante para a localização central da distribuição. Média A média <x>${\displaystyle <x>}$é calculada como a integral do produto entre a variável aleatória x${\displaystyle x}$ e a densidade de probabilidade 𝜌(x)${\displaystyle 𝜌(x)}$ em relação a x${\displaystyle x}$. A fórmula para calcular a média é a seguinte: <x> = ∞∫0x𝜌(x)dx${\displaystyle <x>=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}x𝜌(x)dx}$Agora, podemos substituir a densidade de probabilidade \(\rho(x) = \exp(-x)\) na fórmula e realizar a integração: <x> = ∞∫0xe-xdx${\displaystyle <x>=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}x{e}^{-x}dx}$ Para calcular esta integral, usaremos a integração por partes, que envolve o uso da seguinte fórmula: ∫udv=uv-∫vdu${\displaystyle \int udv=uv-\int vdu}$ Vamos escolher u=x${\displaystyle u=x}$ e dv=e-xdx${\displaystyle dv=e^{-x}dx}$. Em seguida, derivamos u${\displaystyle u}$ para obter du${\displaystyle du}$ e integramos dv${\displaystyle dv}$ para obter v${\displaystyle v}$:u=x  →  du=dx${\displaystyle u=x\to du=dx}$ dv=e-xdx  → v=-e-x${\displaystyle dv=e^{-x}dx\to v=-e^{-x}}$ Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes: <x> = -x⋅e-xa∞0+∫0∞(-e-x)dx${\displaystyle <x>=-x\cdot e^{-x}{|}_0^{\infty }+{\underset{0}{\overset{}{\int }}}^{\infty }(-e^{-x})dx}$ Avaliando os limites da integral: 1. Quando x${\displaystyle x}$ tende a ∞${\displaystyle \infty }$, a exponencial e-x${\displaystyle e^{-x}}$ tende a 0. Portanto, o primeiro termo -xe-x${\displaystyle -x{e}^{-x}}$ vai para 0. 2. Quando x${\displaystyle x}$ é 0, o segundo termo -xe-x${\displaystyle -x{e}^{-x}}$ também é 0. Agora, podemos simplificar a expressão: <x> = ∫0∞(-e-x)dx${\displaystyle <x>={\underset{0}{\overset{}{\int }}}^{\infty }(-e^{-x})dx}$ Integramos -e-x${\displaystyle -e^{-x}}$ em relação a x${\displaystyle x}$: <x> = e-xa∞0${\displaystyle <x>=e^{-x}{|}_0^{\infty }}$ Avaliando os limites da integral: 1. Quando x${\displaystyle x}$ tende a ∞${\displaystyle \infty }$, a exponencial e-x${\displaystyle e^{-x}}$ tende a 0. 2. Quando x${\displaystyle x}$ é 0, a exponencial e0${\displaystyle e^0}$ é 1. Portanto, a expressão se torna: <x> = 1${\displaystyle <x>=1}$A média da distribuição contínua com densidade de probabilidade 𝜌(x)=e-x${\displaystyle 𝜌(x)=e^{-x}}$ no intervalo de 0 a ∞${\displaystyle \infty }$ é igual a 1. Isso significa que, de acordo com esta distribuição, a média é 1, indicando que os valores da variável aleatória têm uma tendência de se concentrar em valores próximos a 1. Quadrado do valor esperado Para calcular a média quadrática no caso anterior, onde temos a densidade de probabilidade \(\rho(x) = \exp(-x)\), devemos usar a seguinte fórmula: <x2> = ∫0∞x2𝜌(x)dx${\displaystyle <x^2>={\underset{0}{\overset{}{\int }}}^{\infty }{x}^2𝜌(x)dx}$ Agora, vamos calcular essa integral passo a passo: Usando a integração por partes, escolhemos u=x2${\displaystyle u=x^2}$ e dv=e-xdx${\displaystyle dv=e^{-x}dx}$. Em seguida, derivamos u${\displaystyle u}$ para obter du${\displaystyle du}$ e integramos dv${\displaystyle dv}$ para obter v${\displaystyle v}$: u=x2  → du=2xdx${\displaystyle u=x^2\to du=2xdx}$dv=e-xdx → v=-e-x${\displaystyle dv=e^{-x}dx\to v=-e^{-x}}$ Aplicando a fórmula da integração por partes: <x2> = -x2e-xa∞0+∫0∞2xe-xdx${\displaystyle <x^2>=-x^2{e}^{-x}{|}_0^{\infty }+{\underset{0}{\overset{}{\int }}}^{\infty }2x{e}^{-x}dx}$Avaliando os limites da primeira parte da integral: 1. Quando x${\displaystyle x}$ tende a +∞${\displaystyle +\infty }$, e-x${\displaystyle e^{-x}}$ tende a 0, tornando o primeiro termo -x2e-x${\displaystyle -x^2{e}^{-x}}$ igual a 0. 2. Quando x${\displaystyle x}$ é 0, o primeiro termo também é 0. Isso nos deixa com a seguinte integral: <x2>∫0∞2xe-xdx${\displaystyle <x^2>{\underset{0}{\overset{}{\int }}}^{\infty }2x{e}^{-x}dx}$ Agora, podemos calcular essa integral: <x2> = -2xe-xa∞0+∫0∞2e-xdx${\displaystyle <x^2>=-2x{e}^{-x}{|}_0^{\infty }+{\underset{0}{\overset{}{\int }}}^{\infty }2e^{-x}dx}$ Avaliando os limites da primeira parte da integral: 1. Quando x${\displaystyle x}$ tende a ∞${\displaystyle \infty }$, e-x${\displaystyle e^{-x}}$ tende a 0, tornando o primeiro termo -2xe-x${\displaystyle -2x{e}^{-x}}$ igual a 0. 2. Quando x${\displaystyle x}$ é 0, o primeiro termo também é 0. Agora, calculamos a integral restante: <x2> = 2∫0∞e-xdx${\displaystyle <x^2>=2{\underset{0}{\overset{}{\int }}}^{\infty }{e}^{-x}dx}$ Integrando e-x${\displaystyle e^{-x}}$ em relação a x${\displaystyle x}$: <x2> =-2e-xa∞0 ${\displaystyle <x^2>=-2e^{-x}{|}_0^{\infty }}$ Avaliando os limites: 1. Quando x${\displaystyle x}$ tende a +∞${\displaystyle +\infty }$, e-x${\displaystyle e^{-x}}$ tende a 0. 2. Quando x${\displaystyle x}$ é 0, e-x${\displaystyle e^{-x}}$ é igual a 1. Portanto, a expressão se torna: <x2> = 2.${\displaystyle <x^2>=2.}$ Portanto, a média quadrática (ou valor esperado de x2${\displaystyle x^2}$) da distribuição com densidade de probabilidade 𝜌(x)=e-x${\displaystyle 𝜌(x)=e^{-x}}$ no intervalo de 0${\displaystyle 0}$ a +∞${\displaystyle +\infty }$ é igual a 2${\displaystyle 2}$. Isso significa que, em média, os valores de x${\displaystyle x}$ tendem a se concentrar em torno de 2${\displaystyle 2}$, em relação a essa distribuição de probabilidade. Variância A variância é uma medida estatística fundamental que descreve a dispersão ou a variabilidade dos dados em relação à média em uma distribuição. Ela fornece informações sobre o quão espalhados ou concentrados os valores da variável aleatória estão em relação ao valor médio. A variância é comumente calculada a partir das integrais de x${\displaystyle x}$ e de x2${\displaystyle x^2}$ multiplicadas pela densidade de probabilidade em uma distribuição contínua. Para calcular a variância (𝜎2${\displaystyle {𝜎}^2}$) de uma variável aleatória contínua com densidade de probabilidade 𝜌(x)${\displaystyle 𝜌(x)}$, usamos a seguinte fórmula: 𝜎2= <x2>-<x>2${\displaystyle {𝜎}^2=<x^2>-<x{>}^2}$ Onde:- 𝜎2${\displaystyle {𝜎}^2}$ representa a variância.- <x2>${\displaystyle <x^2>}$é o valor esperado de x2${\displaystyle x^2}$, que é a média quadrática.- <x>${\displaystyle <x>}$ é o valor esperado de x${\displaystyle x}$, que é a média. A variância é calculada como a diferença entre o valor esperado de x2${\displaystyle x^2}$ e o quadrado do valor esperado de x${\displaystyle x}$. Portanto, podemos calcular a variância usando as integrais de x${\displaystyle x}$ e de x2${\displaystyle x^2}$ multiplicadas pela densidade de probabilidade. A integral de x${\displaystyle x}$ multiplicado pela densidade de probabilidade 𝜌(x)${\displaystyle 𝜌(x)}$ é usada para calcular o valor esperado de x${\displaystyle x}$: <x> = ∞∫0x𝜌(x)dx${\displaystyle <x>=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}x𝜌(x)dx}$ Enquanto a integral de x2${\displaystyle x^2}$ multiplicado pela densidade de probabilidade (𝜌(x)${\displaystyle 𝜌(x)}$) é usada para calcular o valor esperado de x2${\displaystyle x^2}$, que é a média quadrática: <x2> = ∞∫0x2𝜌(x)dx${\displaystyle <x^2>=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{x}^2𝜌(x)dx}$ Uma vez calculados <x>${\displaystyle <x>}$ e <x2>${\displaystyle <x^2>}$, podemos usar a fórmula da variância para obter a medida da dispersão dos dados em relação à média. Prova do cálculo da variância por meio das integrais a𝜎2=<𝛥x2>=+∞∫-∞𝛥x2𝜌(x)dx 𝜎2=+∞∫-∞(x-<x>)2𝜌(x)dx=+∞∫-∞(x2-2x<x>+<x>2)𝜌(x)dx𝜎2=+∞∫-∞x2𝜌(x)dx-2+∞∫-∞x<x>𝜌(x)dx++∞∫-∞<x>2𝜌(x)dx𝜎2=<x2>-2<x>+∞∫-∞x𝜌(x)dx+<x>2+∞∫-∞𝜌(x)dx𝜎2=<x2>-2<x><x>+<x>2𝜎2=<x2>-2<x>2+<x>2𝜎2=<x2>-<x>2${\displaystyle \begin{array}{l}{𝜎}^2=<𝛥x^2>=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}𝛥x^2𝜌(x)dx\\ {𝜎}^2=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}(x-<x>{)}^2𝜌(x)dx=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}(x^2-2x<x>+<x{>}^2)𝜌(x)dx\\ {𝜎}^2=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{x}^2𝜌(x)dx-2\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}x<x>𝜌(x)dx+\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}<x{>}^2𝜌(x)dx\\ {𝜎}^2=<x^2>-2<x>\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}x𝜌(x)dx+<x{>}^2\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}𝜌(x)dx\\ {𝜎}^2=<x^2>-2<x><x>+<x{>}^2\\ {𝜎}^2=<x^2>-2<x{>}^2+<x{>}^2\\ {𝜎}^2=<x^2>-<x{>}^2\end{array}}$